解答中央部の平方完成において9/8となっていますが、7/8の誤りですm(_ _)m
2曲線\ y=x^3+34x,\ y=23x^2+a\ が共有点をもち,\ その共有点で直交しているとする.$}
そのときの定数$aの値と,\ その共有点におけるそれぞれの曲線の接線の方程式を求めよ.2曲線が直交する条件 \\
2曲線$y=f(x),\ y=g(x)}$の交点($x=p}$)における接線が直交する.
このとき,\ 「2曲線が$x=p}$で直交する}」}という.
その条件は
f(p)=g(p)} {接点のy座標が一致})
f'(p)g'(p)=-\,1接線の傾きの積が-1}
この2曲線が$x=p}で直交するための条件は$
前項では,\ 2曲線が接する条件がf(p)=g(p)かつf'(p)=g'(p)であることを学習した.
2直線の垂直条件(傾きの積)=-\,1}より,\ 傾きの条件がf'(p)g'(p)=-\,1になっただけである.
連立方程式①,\ ②は,\ まずpのみの方程式である②からpの値を求められる.
3次方程式なので因数定理}を用いて因数分解することになる(数II}:複素数と方程式で学習済).
因数定理は,\ f(α)=0\ ⇔\ f(x)が(x-α)を因数にもつ}\ であった.
代入して=0になる\,α\,を探すことになるが,\ このときの\,α\,の候補は次のようになるのであった.
α=±定数項の約数}{最高次の項の係数の約数=±1}{1,\ 2,\ 4}=±\,1,\ ±12,\ ±14}
順番に代入すると,\ α=-12\ のとき0になるので,\ p+12を因数にもつとわかる.
分数にすると後が面倒なので,\ (2p+1)を因数にもつと考えるのがよい.
残りの因数の求め方には,\ 組立除法や筆算の割り算などがあった.
ここで,\ 交点は座標平面(実数平面)上にあるから,\ 当然pは実数である.}
2p^2-p+1=0\ の解はp=1±√{7}\,i}{2}\ (虚数解)であるから条件を満たさない.
2次関数が実数解をもたないことの記述は何通りか考えられる.
虚数解なので不適としてもよいが,\ 最も一般的なのは平方完成して常に>0を示す}記述である.
もちろん,\ 判別式D<0を示してもよい.
a,\ pが求まれば,\ 直ちに共有点と接線の傾きが求まるので, 後は普通に接線の方程式を求めればよい.
共有点のy座標は当然f(p)とg(p)のどちらからでも求まるが,\ f(p)から少し工夫して求めた.