2曲線の直交条件

orthogonal
2曲線\ y=x³+34x,\ y=23x²+a\ が,\ その共有点で直交しているとする.$} 定数$aの値と,\ 共有点におけるそれぞれの曲線の接線の方程式を求めよ.$  2曲線の交点(${x=p}$)における接線が直交する.  このとき,\ 「2曲線が${x=p}$で直交する}」}という.  その条件は接点のy座標が一致}) 接線の傾きの積が-1})  2曲線が$x=p}で直交するための条件は$  2曲線の共有点は   また,\ 共有点におけるそれぞれの接線の傾きは  よって,\ 共有点におけるそれぞれの接線の方程式は     2曲線の直交条件を立式すると,\ 連立方程式,\ に帰着する. まず,\ pのみの方程式であるからpを求める. 因数定理を用いて因数分解するわけだが,\ pに代入すべき値の目安が次である. {p={定数項の約数}{最高次の項の係数の約数 順番に代入すると,\ p=-12\ のとき0になるので,\ 2p+1を因数にもつとわかる. 交点は座標平面上の点であるから,\ 当然実数である. 2p²-p+1=0\ は虚数解しかもたないから条件を満たさない. 共有点のy座標は,\ f(p)とg(p)のどちらでもよいが,\ 次数の低いg(p)で求めた.
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