2曲線が直交する条件

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differential-formula
2曲線\ y=x^3+\bunsuu34x,\ y=\bunsuu23x^2+a\ が共有点をもち,\ その共有点で直交しているとする.$} \\[.5zh] \hspace{.5zw}そのときの定数$aの値と,\ その共有点におけるそれぞれの曲線の接線の方程式を求めよ.2曲線が直交する条件}}}} \\\\[.5zh]   \textbf{\textcolor{magenta}{2曲線$\bm{y=f(x),\ y=g(x)}$の交点($\bm{x=p}$)における接線が直交する.}} \\[.2zh]   このとき,\ \textbf{「\textcolor{blue}{2曲線が$\bm{x=p}$で直交する}」}という. \\[1zh]   その条件は  f(p)=g(p)} {接点のy座標が一致}) \\[.2zh] f'(p)g'(p)=-\,1接線の傾きの積が-1}  この2曲線が$\textcolor{red}{x=p}で直交するための条件は$ \\[.5zh] 前項では,\ 2曲線が接する条件がf(p)=g(p)かつf'(p)=g'(p)であることを学習した. \\[.2zh] \bm{2直線の垂直条件(傾きの積)=-\,1}より,\ 傾きの条件がf'(p)g'(p)=-\,1になっただけである. \\[1zh] 連立方程式\maru1,\ \maru2は,\ まずpのみの方程式である\maru2からpの値を求められる. \\[.2zh] 3次方程式なので\bm{因数定理}を用いて因数分解することになる(数\text{I\hspace{-.1em}I}:複素数と方程式で学習済). \\[.2zh] 因数定理は,\ \bm{f(\alpha)=0\ \Longleftrightarrow\ f(x)が(x-\alpha)を因数にもつ}\ であった. \\[.2zh] 代入して=0になる\,\alpha\,を探すことになるが,\ このときの\,\alpha\,の候補は次のようになるのであった. \\[.2zh]  \bm{\alpha=\pm\bunsuu{定数項の約数}{最高次の項の係数の約数}}=\pm\bunsuu{1}{1,\ 2,\ 4}=\bm{\pm\,1,\ \pm\bunsuu12,\ \pm\bunsuu14} \\[.8zh] 順番に代入すると,\ \alpha=-\bunsuu12\ のとき0になるので,\ \left(p+\bunsuu12\right)を因数にもつとわかる. \\[.8zh] 分数にすると後が面倒なので,\ (2p+1)を因数にもつと考えるのがよい. \\[.2zh] 残りの因数の求め方には,\ 組立除法や筆算の割り算などがあった. \\[.2zh] ここで,\ \bm{交点は座標平面(実数平面)上にあるから,\ 当然pは実数である.} \\[.2zh] 2p^2-p+1=0\ の解はp=\bunsuu{1\pm\ruizyoukon{7}\,i}{2}\ (虚数解)であるから条件を満たさない. \\[.8zh] 2次関数が実数解をもたないことの記述は何通りか考えられる. \\[.2zh] 虚数解なので不適としてもよいが,\ 最も一般的なのは\bm{平方完成して常に>0を示す}記述である. \\[.2zh] もちろん,\ 判別式D<0を示してもよい. \\[1zh] a,\ pが求まれば,\ 直ちに共有点と接線の傾きが求まるので, 後は普通に接線の方程式を求めればよい. \\[.2zh] 共有点のy座標は当然f(p)とg(p)のどちらからでも求まるが,\ f(p)から少し工夫して求めた.
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