3次関数とその接線の交点の座標を求める4手法(裏技含む)

cubic-function-tangent
多くの人がとる方法(自然だが最悪)] $[連立して整理}]$}因数定理}]$} 組立除法か筆算で割り算(省略)}]$} さらに因数分解}]$} 「接する 重解」を利用して因数分解を瞬殺(推奨)$] x=-1で接するから,\ {x=-1を重解に持つことが既知}である. つまり,\ {(x+1)²を因数にもつ.} よって,\ x³-3x-2={(x+1)²(x+a)}\ と因数分解できるはずである. ここで,\ {両辺の定数項を比較}すると,\ {-2=a}\ がわかる. こうして,\ 因数分解が瞬殺できるのである. 解と係数の関係と「${接する 重解}$」を利用] 接線の方程式を$x=-1$を重解にもつ}から,\ 3つの実数解は\解と係数の関係}よ 接線の方程式を文字で設定して,\ 3次関数と連立する. この3次方程式を解けば接点と交点の座標が求まるはずである. ここで,\ {接点の座標x=-1は既知であるから,\ これを重解にもつ.} x=-1以外の解が求める交点のx座標である. よって,\ これを文字でおいて解と係数の関係を用いればよい. ax³+bx²+cx+d=0の3解が\ α,\ β,\ γ\ のとき {α+β+γ=- ba} 結局,\ {3次方程式の3次の項と2次の項の係数で決まる.} よって,\ {接線の方程式が結果に影響しない}ことも確認しておこう. この解法は,\ {接線の方程式が必要ない場合}に推奨される. 接線の方程式が必要な場合は逆に遠回りになってしまう. 3次関数の対称性を利用(裏技)変曲点のx座標は\ x=0}$ { $$\ }$3次関数の対称性より,\ 接点-変曲点}:変曲点-交点}=1:2}$ { $$\ }$接点\ x=-1,\ 変曲点\ x=0\ より 交点の座標は {x=2}$ 変曲点} {接点}
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