3次関数の接線が再び3次関数と交わる点の座標を求める4手法(裏技含む)

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単独での出題は少ないが,\ 様々な問題の中でこれを求める必要が生じる. \\[.2zh]  メリット・デメリットを理解した上で,\ 4通りの方法を習得しておくことが推奨される. \\\\\\ {\,普通の方法(面倒) 接線を求め,\ 3次関数と接線を連立して解を求めるという誰もが真っ先に思いつく解法である. \\[.2zh] 3次方程式となるから,\ 因数定理「P(\alpha)=0\ \Longleftrightarrow\ P(x)が(x-\alpha)を因数にもつ」で因数分解する. \\[.2zh] (x+1)を因数にもつことがわかり,\ 後は組立除法(左)や筆算の割り算(右)で残りの因数を求める. \\ 接点のx座標x=-\,1でない方が求める点のx座標である. 「接する\Longleftrightarrow 重解」を利用して因数分解を瞬殺(推奨)}}$\,] 大まかには[1]と同じだが,\ \bm{「接する\,\Longleftrightarrow\,重解」を利用すると因数分解を瞬殺できる.} \\[.2zh] x=-\,1で接しているのであるから,\ 因数定理を使わずとも\bm{x=-\,1を重解にもつ}ことがわかる. \\[.2zh] よって,\ x^3-3x-2=\bm{(x+1)^2(x+a)}\ と因数分解できるはずである. \\[.2zh] \bm{両辺の定数項を比較}すると\bm{-\,2=a}\ がわかる.}{解と係数の関係と「$\bm{接する\Longleftrightarrow 重解}$」を利用(接線の方程式が要らない場合は強力)\,}{解と係数の関係}より 接線の方程式を文字で設定して3次関数と連立する. \\[.2zh] 3次方程式\maru1の実数解が接点や交点のx座標である. \\[.2zh] ここで,\ \bm{x=-\,1で接しているから,\ これを重解にもつ.} \\[1zh] x=-\,1以外の解が求める交点のx座標なので,\ これを文字でおいて解と係数の関係を用いる. \\[.2zh]  ax^3+bx^2+cx+d=0の3解が\ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ のとき \bm{\alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu ba} \\\\ 結局,\ \bm{3次方程式\maru1の3次の項と2次の項の係数だけで交点のx座標が求まる.} \\[.2zh] 接線の方程式y=mx+nは1次以下の式であるから,\ 交点のx座標に影響を与えない. \\[.2zh] \bm{y=mx+nのm,\ nが求まっていなくても,\ 交点のx座標を求めることができる}わけである. \\[.2zh] 接線の方程式が必要ない場合には強力な解法だが,\ 接線の方程式が必要な場合は逆に遠回りになる. \,3次関数の対称性を利用(裏技)}}\,}$f”(x)=6x=0 より 変曲点のx座標は\ x=0}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$\ \ }$3次関数の対称性より 接点-変曲点}:\zettaiti{変曲点-交点}=1:2}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$\ \ }$接点\ x=-\,1,\ 変曲点\ x=0\ であるから \bm{交点の座標は\ \ x=2}$ \\\\ 別項の「3次関数の対称性に関する裏技的知識」で紹介した性質を利用する. \\[.2zh] f”(x)は,\ f(x)をxで2回微分したものである. \\[.2zh] f”(x)=0を解くと,\ 変曲点(3次関数の対称の中心)のx座標が求まる. \\[.2zh] x座標について,\ \bm{変曲点は接点と交点を1:2に内分する}ので,\ 直ちに交点のx座標がわかる. \\[1zh] 多くの問題では,\ 交点のx座標を求める部分はその問題の本質とは関わりがない. \\[.2zh] よって,\ x座標の求め方を丁寧に記述する必要はなく,\ かなり使える裏技である.
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