3次方程式の解の個数①と解の存在範囲:定数分離型

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定数kの値の範囲を求めよ.$ $ α,\ β,\ γ\ の値の範囲を求めよ.$  $y’=0\ とすると x=-1,\ 2  よって,\ 増減表とグラフは以下となる.$  \ $2x³-3x²-12x+k=0の実数解の個数は$ }2つのグラフ$ の共有点の個数に等しい.$ { }よって,\ グラフより,\ 異なる3つの実数解をもつような$k$の値の範囲は 2次方程式ならば,\ 解の個数は判別式で容易にわかる. しかし,\ 3次方程式の場合,\ {グラフを用いて図形的に考える}ことになる. {方程式の解の個数は,\ 図形的には共有点の個数}である. 本問のように,\ {定数が完全に分離できれば,\ 3次関数と直線の共有点に帰着}する. 普通に分離すると,\ 2x³-3x²-12x=-k\ となる. このままでは,\ 直線\ y=-k\ を考えることになり,\ 正負がまぎらわしい. よって,\ 完全にkのみを分離するべきである. {y=kはx軸に平行な直線}である. これを変化させ,\ 3次関数と3つの共有点をもつようにkの値の範囲を定める. ちなみに,\ k=-7,\ 20のとき2個,\ のとき1個もわかる. 水色の部分}との交点のx座標が\ 3つの共有点をもつように直線\ y=k\ を変化させ,\ それぞれの解の範囲を考える. そのために,\ {y=kが極値を通るときの他の交点のx座標}を求める必要がある. -2x³+3x²+12x=-7,\ 20\ を因数定理を用いて解くのは愚の骨頂である. このような応用問題では,\ 座標の求め方までを丁寧に記述する必要はない. 裏技でも何でも用いて素早く値だけを求めよう. 先の項目で述べた{「接する 重解」と「解と係数の関係」}を用いる解法が速い. y=kが(-1,\ -7)を通るとき,\ x=-1を重解にもつ. よって,\ 3解は-1,\ -1,\ α\ とおける. 解と係数の関係より 同様に,\ (2,\ 20)を通るとき
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