3次関数の極大値と極小値の差:解と係数の関係の利用と1/6公式を用いた超絶技巧(裏技)

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裏技は積分の知識を要します。

differential-formula
の極大値と極小値の差が12\sqrt3\ になるとき,\ 定数kの値$を求めよ{3次関数の極大値と極小値の差解と係数の関係を利用}3次関数f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)=0が異なる2実数解をもつこと}である.$ f'(x)=0$の判別式を$D$とすると {解と係数の関係}より {極大値と極小値の差}は 前項で取り上げた極大値と極小値の和の問題と同様である. \\[.2zh] 極大と極小の対称性を生かし,\ 解と係数の関係を利用する. \\[.2zh]  2次方程式ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とするとき \alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca \\\\ 最初に,\ \bm{3次関数が極値をもつための条件(f'(x)=0のD>0)を確認}しておく. \\[.2zh] 3次関数は極大と極小をセットでもつから,\ f'(x)=0が異なる2個の実数解をもつ必要がある. \\[1zh] f'(x)=0の2個の実数解を\,\alpha,\ \beta\,とおくと,\ それが極大と極小のx座標である. \\[.2zh] 和の場合とは異なり,\ 極大値と極小値の差を求める場合は\,\bm{\alpha\,と\,\beta\,の大小関係も設定する}必要がある. \\[.2zh] x^3\,の係数が正で,\ かつ\,\alpha<\beta\ より,\ \bm{f(\alpha)のほうが極大,\ f(\beta)のほうが極小}となる. \\[1zh] \bm{極大値と極小値の差は交代式}(2変数を入れ替えると正負が逆になる式)となる. \\[.2zh] f(\beta)-f(\alpha)=-\,\{f(\alpha)-f(\beta)\}\,だからである. \\[.2zh] \bm{交代式は必ず差を因数にもつ}のであった.\ また,\ \bm{残りの因数は必ず対称式}となる. \\[.2zh] よって,\ 差\,\alpha-\beta\,をくくりだした後,\ \bm{基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,で表し,\ 解と係数の関係を適用}する. bm{交代式は2乗すると対称式}となることを利用して求める. このようにして\bm{差f(\alpha)-f(\beta)を整理していくと,\ 必ず( )^3\,の形になる}(理由は別解). \\[.2zh] よって,\ ( )^3=○\,を解くことになるが,\ 3乗を展開してはならない.\ \bm{両辺を3乗根}すれば済む. 定積分の逆と\bunsuu16公式を利用(推奨)}}\right]$ {3次関数f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)=0が異なる2実数解をもつこと}である.$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $f'(x)=0$の判別式を$D$とするとの2つの実数 受験数学における有名裏技の1つである.\ 非常に巧妙だが,\ 積分を学習済みであることが前提となる. \\[1zh] この解法の肝は,\ f(\alpha)-f(\beta)の求め方である.\ それ以外は[1]と同様である. \\[.2zh] まず,\ \bm{定積分\ \dint{\beta}{\alpha}f'(x)\,dx=\teisekibun{f(x)}{\beta}{\alpha}=f(\alpha)-f(\beta)\ を逆に用いる.} \\[1zh] ここで,\ \alpha,\ \beta\ はf'(x)=3x^2-6kx+3=0の2つの実数解であった. \\[.2zh] よって,\ \bm{f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)}\ と因数分解できるはずである.\ 係数の3を忘れないように注意. \\[.2zh] 後は,\ \bm{\bunsuu16公式\ \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3}\ を適用すればよい. \\[1zh] ここでは,\ \dint{\beta}{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\ として適用した. \\[1zh] 結局,\ \bm{極値の差が( )^3\,の形で表される.}\ \ [1]で( )^3\,の形になったのは必然だったわけで  以上を文字を用いて一般化すると,\ \textbf{\textcolor{blue}{裏技公式}}を作成できる. \\[1zh]
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