3次関数の極大値と極小値の差:基本的な方法と1/6公式を用いた超絶技巧

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裏技は積分の知識を要します。

extremum-difference
極大値と極小値の差が12√3\ になるとき,$ $定数kの値を求めよ.$  $$[解と係数の関係を利用] { $$}\ $f(x)=x³-3kx²+3x+5 より f'(x)=3x²-6kx+3$ { $$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ { $$}\ 解と係数の関係}より $α+β=2k,αβ=1}$ { $$}\ 極大値と極小値の差}は 両辺を2乗して整理すると 3$ 3乗を展開しないように}]$} 最初に,\ {3次関数が極値をもつための条件(を確認}する. 極値のx座標を\ α,\ β\ とおく.\ このとき,\ 大小関係も設定しておく x³の係数が正,\ より,\ {f(α)が極大,\ f(β)が極小}となる. {極大値と極小値の差は交代式となる. {交代式は必ず差を因数にもつ.}\ また,\ {残りの因数は対称式}となる. よって,\ 差をくくりだした後,\ {基本対称式で表し,\ 解と係数の関係を適用}する. {交代式は2乗すると対称式}となることを利用し,\ α-β\ を基本対称式で表す. {差を整理していくと必ず( )³の形にできる}はずである.\ 理由は別解でわかる. 定積分の逆と16公式を利用(推奨)]$ { $$}\ $f(x)=x³-3kx²+3x+5 より f'(x)=3x²-6kx+3$ { $$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ { $$}\ よって $判別式\ { $$}\ $f'(x)=3x²-6kx+3=0\ の2つの実数解を\ α とする.$ {解と係数の関係}より  極大値と極小値の差}は  両辺を2乗して 経験が必要な解法だが,\ 記述試験でも使用可能であり,\ 非常に強力である. 序盤はと同じだが,\ 極値の差の部分からは巧みに処理していく. まず,\ {定積分\ を逆に用いる.} 次に,\ f'(x)を因数分解する. の2つの実数解であった. よって,\ と因数分解できるはずである. 係数の3を忘れないように注意する. 結局,\ {極値の差が( )³の形に表される.} {解と係数の関係}を用いてkで表し,\ それが123\ となるようにすればよい.  これを一般化すると,\ 裏技公式を作成できる.f(x)の極大値と極小値の差は$ [.5
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