文字を含む3 次関数の最大・最小① 区間固定型

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「最大値と最小値を求めよ」です。

differential-formula
aを定数とするとき,\ f(x)=-\,x^3+3ax^2\ (0≦ x≦1)$の最大値を求めよ. \\ 文字を含む3次関数の最大・最小① 区間固定型 数 I:2次関数分野で登場した「文字を含む2次関数の最大・最小」の3次関数ver.}である. 何が一定で何が変化するのかを強烈に意識}して,\ どこで最大・最小になるのかを考えるのであった. 本問は,\ 区間0≦ x≦1が一定で,\ 関数自体が変化する型}である. 本項の図はすべて0≦ x≦1の幅が同じになっていることを意識してほしい. 3次関数の最大・最小問題なので,\ 増減表を作成することになる. ただでさえ文字があってややこしい中で,\ 通常の方法で増減表を作成するのは面倒である. そこで,\ グラフの概形から逆に増減表を作成する}方法が手っ取り早くオススメである. そのためには,\ 3次関数のグラフの分類6パターンを知識としてもっておく}必要がある. すでに別項でまとめたものを紹介したので,\ 怪しい人はすぐに確認してほしい. とにかく,\ 3次関数f(x)の概形は,\ f'(x)=0の実数解の個数によって大きく変わる}のであった. 本問はx=0,\ 2aなので一見2つの異なる実数解をもつように思えるが,\ 2a=0の場合がありえる. f'(x)=0の実数解が0個または1個の場合,\ 3次関数のグラフは極値をもたない. また,\,2a≠0のとき,\,0と2aの大小関係でx=0とx=2aのどちらで極大・極小をとるかが変わる. 結局,\ 2a<0,\ 2a=0,\ 2a>0で場合分け}して考えることになる. x^3\,の係数が負で極値をもつ}場合,\ 3次関数のグラフは減少\,→\,増加\,→\,減少}となるのであった. よって2a<0,\ つまりa<0のとき,\ f(x)はx=2aで極小,\ x=0で極大をとる.} x^3\,の係数が負で極値をもたない}場合,\ 3次関数のグラフは全区間で単調に減少}するのであった. よって2a=0,\ つまりa=0のとき,\ f(x)は全区間で単調に減少する.} どちらにせよ,\ 0≦ x≦1の範囲ではx=0で最大,\ x=1で最小となる. よって,\ a<0のときとa=0のときをまとめて答えることができる. 増減表も同じなので,\ グラフをイメージしつつ素早く作成しておけばよい. 2a>0のとき,\ f(x)はx=0で極小,\ x=2aで極大をとる.} 0≦ x≦1での最大・最小なので,\ x=2aが区間内にあるか否か}で場合を分ける必要がある. 0