文字を含む3 次関数の最大・最小① 区間固定型

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aを定数とするとき,\ f(x)=-\,x^3+3ax^2\ (0\leqq x\leqq1)$の最大値を求めよ. \\ 文字を含む3次関数の最大・最小\maru1 区間固定型}}}} \\\\\\ 数\text I:2次関数分野で登場した「文字を含む2次関数の最大・最小」の3次関数\text{ver.}である. \\[.2zh] \bm{何が一定で何が変化するのかを強烈に意識}して,\ どこで最大・最小になるのかを考えるのであった. \\[1zh] 本問は,\ \bm{区間0\leqq x\leqq1が一定で,\ 関数自体が変化する型}である. \\[.2zh] 本項の図はすべて0\leqq x\leqq1の幅が同じになっていることを意識してほしい. \\[1zh] 3次関数の最大・最小問題なので,\ 増減表を作成することになる. \\[.2zh] ただでさえ文字があってややこしい中で,\ 通常の方法で増減表を作成するのは面倒である. \\[.2zh] そこで,\ \bm{グラフの概形から逆に増減表を作成する}方法が手っ取り早くオススメである. \\[.2zh] そのためには,\ \bm{3次関数のグラフの分類6パターンを知識としてもっておく}必要がある. \\[.2zh] すでに別項でまとめたものを紹介したので,\ 怪しい人はすぐに確認してほしい. \\[1zh] とにかく,\ 3次関数f(x)の概形は,\ \bm{f'(x)=0の実数解の個数によって大きく変わる}のであった. \\[.2zh] 本問はx=0,\ 2aなので一見2つの異なる実数解をもつように思えるが,\ 2a=0の場合がありえる. \\[.2zh] f'(x)=0の実数解が0個または1個の場合,\ 3次関数のグラフは極値をもたない. \\[.2zh] また,\,2a\neqq0のとき,\,0と2aの大小関係でx=0とx=2aのどちらで極大・極小をとるかが変わる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{2a<0,\ 2a=0,\ 2a>0で場合分け}して考えることになる. \\[1zh] \bm{x^3\,の係数が負で極値をもつ}場合,\ 3次関数のグラフは\bm{減少\,→\,増加\,→\,減少}となるのであった. \\[.2zh] よって2a<0,\ つまりa<0のとき,\ \bm{f(x)はx=2aで極小,\ x=0で極大をとる.} \\[1zh] \bm{x^3\,の係数が負で極値をもたない}場合,\ 3次関数のグラフは\bm{全区間で単調に減少}するのであった. \\[.2zh] よって2a=0,\ つまりa=0のとき,\ \bm{f(x)は全区間で単調に減少する.} \\[1zh] どちらにせよ,\ 0\leqq x\leqq1の範囲ではx=0で最大,\ x=1で最小となる. \\[.2zh] よって,\ a<0のときとa=0のときをまとめて答えることができる. \\[.2zh] 増減表も同じなので,\ グラフをイメージしつつ素早く作成しておけばよい. 2a>0のとき,\ \bm{f(x)はx=0で極小,\ x=2aで極大をとる.} \\[.2zh] 0\leqq x\leqq1での最大・最小なので,\ \bm{x=2aが区間内にあるか否か}で場合を分ける必要がある. \\[.2zh] 0
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