aを定数とするとき,\ f(x)=-\,x^3+3ax^2\ (0≦ x≦1)$の最大値を求めよ. \\
文字を含む3次関数の最大・最小① 区間固定型
数 I:2次関数分野で登場した「文字を含む2次関数の最大・最小」の3次関数ver.}である.
何が一定で何が変化するのかを強烈に意識}して,\ どこで最大・最小になるのかを考えるのであった.
本問は,\ 区間0≦ x≦1が一定で,\ 関数自体が変化する型}である.
本項の図はすべて0≦ x≦1の幅が同じになっていることを意識してほしい.
3次関数の最大・最小問題なので,\ 増減表を作成することになる.
ただでさえ文字があってややこしい中で,\ 通常の方法で増減表を作成するのは面倒である.
そこで,\ グラフの概形から逆に増減表を作成する}方法が手っ取り早くオススメである.
そのためには,\ 3次関数のグラフの分類6パターンを知識としてもっておく}必要がある.
すでに別項でまとめたものを紹介したので,\ 怪しい人はすぐに確認してほしい.
とにかく,\ 3次関数f(x)の概形は,\ f'(x)=0の実数解の個数によって大きく変わる}のであった.
本問はx=0,\ 2aなので一見2つの異なる実数解をもつように思えるが,\ 2a=0の場合がありえる.
f'(x)=0の実数解が0個または1個の場合,\ 3次関数のグラフは極値をもたない.
また,\,2a≠0のとき,\,0と2aの大小関係でx=0とx=2aのどちらで極大・極小をとるかが変わる.
結局,\ 2a<0,\ 2a=0,\ 2a>0で場合分け}して考えることになる.
x^3\,の係数が負で極値をもつ}場合,\ 3次関数のグラフは減少\,→\,増加\,→\,減少}となるのであった.
よって2a<0,\ つまりa<0のとき,\ f(x)はx=2aで極小,\ x=0で極大をとる.}
x^3\,の係数が負で極値をもたない}場合,\ 3次関数のグラフは全区間で単調に減少}するのであった.
よって2a=0,\ つまりa=0のとき,\ f(x)は全区間で単調に減少する.}
どちらにせよ,\ 0≦ x≦1の範囲ではx=0で最大,\ x=1で最小となる.
よって,\ a<0のときとa=0のときをまとめて答えることができる.
増減表も同じなので,\ グラフをイメージしつつ素早く作成しておけばよい.
2a>0のとき,\ f(x)はx=0で極小,\ x=2aで極大をとる.}
0≦ x≦1での最大・最小なので,\ x=2aが区間内にあるか否か}で場合を分ける必要がある.
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