極値の定義と極値から係数決定

extremum
極値に関する基本事項が次である. ${x=aを境に}\ f(x)が増}加}から減}少\ に変わるとき f(a)は\ 極大}値} f(x)が減}少}から増}加\ に変わるとき f(a)は\ 極小}値}  この条件を満たせば,\ ${尖っていたり,\ 微分不可能な点でも,\ 極値になる.$  $f(x)が微分可能とし,\ $極値の条件を,\ $f'(x)を用いて言い換える.\ $ x=aを境に}\ f'(x)の符号が正}から負\ に変わるとき f(a)は\ 極大}値} f'(x)の符号が負}から正\ に変わるとき f(a)は\ 極小}値}  以上から,\ 次が成立する.  重要なのは,\ ${f'(a)=0}$でも,\ ${x=a}$で極値をとる保証はないことである.  ${f'(a)=0でも極値をとらない代表例}$は,\ 次のような3次関数だろう.  $y’=3x²\ より,\ x=0のとき,\ y’=0だが,\ x=0で極値はとらない.$  結局,\ ${f'(a)=0\ は極値をとるための必要条件}にすぎない.}$  よって,\ この条件を使用した場合,\ 十分性の確認をしなければならない.  十分性の確認は,\ 増減表を書いておくのが,\ 手っ取り早く確実である.  また,\ $「{f(x)がx=a\ のとき極値pをとる」から,\ 2つの条件式が作れる.$  増減表}より,\ 確かに\ $x=-1で極大値,\ x=1で極小値f=2\ をとる.$} 「x=-1で極大値6」から,\ 2つの条件\ f(-1)=6,f'(-1)=0\ が導かれる. 「x=1で極小値」から,\ f’=0\ が導かれる. 未知数3つに対し,\ 式3つとなるから,\ これを解けばa,\ b,\ cが特定できる. 「極値をとる」「f'(a)=0」\ を用いたので,\ 十分性の確認を要する. 元のf(x)にa,\ b,\ cを代入し,\ 増減表を作成しておく. 十分性の確認のために増減表を書いたことをアピールしておくとよい(下線部}).
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