不等式が常に成り立つ条件(微分利用)

スポンサーリンク
differential-formula
常に$\bm{g(x)>h(x)}$が成り立つ}}$\{常に\,f(x)=g(x)-h(x)>0\,が成り立つ}}${(f(x)の最小値)>0}}$ \\[1zh]   $f(x)$が3次以上の関数ならば,増減表を作成する}}ことに帰着する. \\\\\\ 常にf(x)=(x^3-3x^2)-\{a(3x^2-12x-2)\}\geqq0となるようなaの範囲を求めればよい. \\[.2zh] xで整理すると,\ f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax+2となる. \\[.2zh] x>0の範囲でf(x)の増減表を作成し,\ (最小値)>0となるための条件を考える. \\[.2zh] ただし,\ \bm{2aと2の大小関係によってどこで最小となるかが変わる}ので場合分けする必要がある. \\[.2zh] a>0より2a>0であるから,\ 0<2a<2,\ 2a=2,\ 2<2aの3つに場合分けすることになる. \\[1zh] [1]\ \ 増減表より,\ f(0)またはf(2)が最小値である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ このような場合,\ f(0)とf(2)を大小比較する必要はない. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{f(0)>0かつf(2)>0とすれば,\ f(0)とf(2)の大小関係によらず条件を満たす.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ さらに,\ 前提である場合分けの条件も考慮した範囲にする. \\[1zh] [2]\ \ f'(x)\geqq0より,\ f(x)は極値をもたず,\ 単調に増加する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ さらにa=1のときf(0)=2a=2であるから,\ x>0の範囲で常にf(x)>0といえる. \\[1zh] [3]\ \ f(2a)>0は3次不等式だが,\ a>0より常に-2a<0なので両辺を-2aで割ることができる. \\[.2zh]
タイトルとURLをコピーしました