微分を利用する不等式の証明

スポンサーリンク
differential-formula
不等式$\bm{g(x)\geqq h(x)}$の証明法}}   $常にf(x)\geqq0$を示すには,\ $\bm{\textcolor{magenta}{(f(x)の最小値)\geqq0}}$を示す. \\[.2zh]   $f(x)$が3次以上の関数ならば,{増減表を作成する}}ことに帰着する. \\\\\\ x\geqq1の範囲の増減表を作成し,\ x\geqq1の範囲での最小値が0以上であることを示す. \\[.2zh] 図形的には,\ x\geqq1の範囲でy=f(x)のグラフがx軸と接するか,\ x軸の上側にあればよい. \\[.2zh] 実際には,\ 増減表さえ作成すればグラフを図示する必要はない. \\[.2zh] ちなみに,\ x=3のときに与不等式の等号が成立することもわかる. \\[1zh] 本問は,\ f(x)が因数分解できることに気付けば,\ 別解のように示すこともできる. \\[.2zh] f'(x)=0は実数解をもたない. \\[.8zh] 実際の解答では,\ 平方完成することによりf'(x)=0になりえないことを示しておくのが普通である. \\[1zh] 常にf'(x)>0またはf'(x)<0となる場合,\ 別解のように記述することもできる.\ \\[.2zh] 参考書や問題集の解答では別解のように記述してあることが多い.\ 本質的には本解と全く同じである.a,\ b,\ c$を正の定数とするとき,\ $\bunsuu{a^3+b^3+c^3}{3}\geqq abc$が成り立つことを示せ. \\  \betu\ \ $a^3+b^3+c^3-3abc=\textcolor{cyan}{(a+b+c)}\textcolor{magenta}{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$ \\[1zh] \phantom{ \betu}\ \ $a>0,\ b>0,\ c>0$より$\textcolor{cyan}{a+b+c>0}$ \\[1zh] \phantom{ \betu}\ \ $\textcolor{magenta}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}$ \\[.5zh] \phantom{ \betu}\ \ $  =\bunsuu12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ \\[.5zh] \phantom{ \betu}\ \ $  =\bunsuu12\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\}$ \\[.5zh] \phantom{ \betu}\ \ $  =\textcolor{magenta}{\bunsuu12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\geqq0}$ \\\\ \centerline{$\therefore\ \ \bm{a^3+b^3+c^3-3abc\geqq0 分母をはらうとa^3+b^3+c^3\geqq3abcより,\ a^3+b^3+c^3-3abc\geqq0を証明することを考える. \\[.2zh] このとき,\ \bm{aをxで一般化してf(x)=x^3+b^3+c^3-3xbcとし,\ f(x)\geqq0を示す}手法がある. \\[.2zh] 常にf(x)\geqq0を示せば,\ 自動的にf(a)=a^3+b^3+c^3-3abc\geqq0も示されたことになる. \\[.2zh] a>0より,\ x>0の範囲でf(x)\geqq0を示せばよい. \\[.2zh] 極小値f(\ruizyoukon{bc}\,)は上手く変形すると2乗の形になるから,\ \geqq0といえる. \\[1zh] 高校数学では,\ まず特殊な場合を考え,\ それを元に一般的な場合を考えることが多い. \\[.2zh] しかし,\ 逆に\bm{一般的な場合を先に考えることが有効な場合がある.} \\[.2zh] 一般化したf(x)\geqq0が示されれば,\ 特殊な場合であるf(a)\geqq0も示されたことになるわけである. \\[.2zh] \bm{複数の文字を含む不等式の証明}の際に有効な手法である. \\[1zh] なお,\ 本問の一般的な解法は対称性を生かす別解である. \\[.2zh] 通常は数\text{I\hspace{-.2zw}I}の式と証明分野で学習済みの解法である. \\[1zh] 本問の不等式のa,\ b,\ cをそれぞれ\ruizyoukon[3]{a},\ \ruizyoukon[3]{b},\ \ruizyoukon[3]{c}\,に変えると \bunsuu{a+b+c}{3}\geqq\ruizyoukon[3]{abc} \\[.5zh] これは,\ \bm{3変数の相加平均と相乗平均の関係}である. \\[1zh] f(a)=f(\ruizyoukon{bc}\,)=(\ruizyoukon{b^3}-\ruizyoukon{c^3}\,)^2=0のとき,\ 等号が成立する. \\[.2zh] a=\ruizyoukon{bc}\ かつ\ \ruizyoukon{b^3}=\ruizyoukon{c^3}\ より,\ \bm{a=b=cのとき等号が成立する.} \\[.2zh] 別解でいえば,\ a-b=0\ かつ\ b-c=0\ かつ\ c-a=0,\ つまりa=b=cのとき等号が成立する.
タイトルとURLをコピーしました