導関数の定義と微分公式

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微分係数の定義は  同様の計算を繰り返し行う羽目になり,\ 無駄以外の何物でもない. \\[.2zh]  これらを効率的に求めるには,\ \textcolor{cyan}{文字を用いて一般化する}のがよい. \\[.5zh] \centerline{\textcolor{cyan}{$a$を$x$に置き換える}  これを利用して微分係数を求めると,\ 以下のようになる. \  $f'(a)$は定数だが,\ $f'(x)$は$x$の関数になる.\ $f'(x)$を$y=f(x)$の\textbf{\textcolor{blue}{導関数}}という. \\[.5zh]  また,\ $f(x)$から導関数$f'(x)$を求めることを$f(x)$を\textbf{\textcolor{blue}{微分する}}という. \\[.5zh]  $f'(a)$は,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f(x)}$を微分した導関数$\bm{f'(x)}$に$\bm{x=a}$を代入して求める}}のがよいわけである. \\[.5zh]  あらかじめ$f'(x)$を求めておけば,\ . \\[.5zh]  導関数には,\ $f'(x)$以外に\などの表記法がある. \\\\[1zh]  さらには,\ $f'(x)$を求めるために毎回極限計算することも無駄である. \\[.2zh]  よって,\ 以下の導関数を公式として覚えることになる. \\\\ \bunsuu{dy}{dx}\,や\,\bunsuu{d}{dx}\,は分数ではなく,\ これで1つの記号である. \\[.8zh] 読み方も「ディーエックス分のディーワイ」ではなく,\ 「ディーワイ,\ ディーエックス」である. \\[1zh] 積の微分と累乗の微分公式は,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}までしか学習しない学生であっても知っていると役立つ. $f(x)=c\ (c:定数)$の導関数を定義に基づいて求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $f(x)=x^n\ (n:自然数)$の導関数を定義に基づいて求め 先に示した微分公式の証明である.\ 導関数の定義f'(x)=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}\ で求める. \\\\ (1)\ \ f(x)=c\ (定数関数)のとき,\ 当然f(x+h)=cである. \\[1zh] (2)\ \ (x+h)^n\,は\bm{二項定理}\ (数\text{I\hspace{-.1em}I}:式と証明で学習)を用いて展開する. \phantom{(1)}\ \ f(x)=x^n\,の微分は,\ \bm{指数のnを前に出し,\ さらに指数を1小さくする}だけでよいわけである. \\[.2zh] 次の関数を微分せよ.\ ただし,\ (1)は定義に基づいて微分せよ. \\[1zh] (1)\ \ 導関数の定義\ y’=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}\ を用いて求める. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ そのままでは\,\bunsuu00\,の不定形となるが,\ 分子を通分するとhを約分でき,\ 不定形が解消される. \\[1zh] (2)\ \ \{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)は,\ \bm{項ごとに変数部分を微分すればよい}ことを意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 変数部分は公式\ (x^n)’=nx^{n-1}\ を適用する.\ また,\ (c)’=0より,\ 定数項は微分すると0になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 丁寧に記述したが,\ 微分計算では途中の記述は必要ないので,\ 慣れれば一発で解答すればよい. \\[1zh] (3)\ \ 数\text{I\hspace{-.1em}I}では展開してから微分するのが正攻法である(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}では積の微分\ \bm{\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\ を用いるのが正攻法となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は,\ \bm{(積の微分)=(左微分)(右そのまま)+(左そのまま)(右微分)}\ である. \\[1zh] (4)\ \ 積の微分は3つ以上の因数の積の場合にまで拡張できるので紹介しておく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \{f(x)g(x)h(x)\}’=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \\[1zh] (5)\ \ もちろん展開して求めることもできるが,\ 非常に大変である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 累乗の微分公式\ \bm{[\{f(x)\}^n]’=n\{f(x)\}^{n-1}\cdot f'(x)}\ を利用すべきである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 積の微分公式とは異なり,\ 累乗の微分公式は知っていると数\text{I\hspace{-.1em}I}の範囲でもかなり役立つ. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 公式がわかりづらいという学生のため,\ f(x)=Xと置換してみる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{(X^n)’=nX^{n-1}\cdot X’}\ となる.\ X^n\,をXで微分してnX^{n-1}\,とし,\ X’を掛けただけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は,\ \bm{置換して微分したとき,\ 置換したものの微分を掛ける必要がある}ということである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合x-1=Xとおくと,\ y=X^4\,より y’=4X^3\cdot X’=4(x-1)^3\cdot(x-1)’ \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y’=4(x-1)^3\,から,\ x-1の場合もy=x^4,\ y’=4x^3\,と同じと誤解する学生が多い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際には(x-1)’=1が隠れている.\ 誤解していると,\ (5)は正解できても(6)では間違える. \\[1zh] (6)\ \ (2x-1)’=2を掛けるのを忘れてはならない. \\[1zh] (7)\ \ 積の微分と累乗の微分の混合である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 微分計算では,\ 最後は\bm{因数分解する方向で整理する}のが原則である(後に理由がわかる).
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