文系でも役立つ数Ⅲの微分公式:積の微分と{f(x)}nの微分

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文系は習わない公式だが、知っておくと役立つ可能性がある。積の微分はそこまで重要ではないが、{f(x)}nの微分は重要である。

{f(x)}nの微分には使用上の注意点があるので、数Ⅲを学習しない学生はよく確認しておいて欲しい。

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積の微分の公式 積の微分の公式の拡張 数III}で学習する理系用の公式であるが,\ 文系も知っておくとよい. 要するに,\ {(積の微分)=(左微分)(右そのまま)+(左そのまま)(右微分)}\ である. 拡張は理系でも習わないが,\ 知っておくべきである. 公式だけ見ると複雑に思うかもしれないが,\ 例を見ればすぐ理解できるだろう. x-3=X\ とおくと,\ (X³)’=3X²\ という普通の微分と同じになっている. ただし,\ 2例目はそこまで単純ではない.\ 当公式の適用上の落とし穴がここにある. 1例目と2例目の違いは,\ {( )内の式のxの係数が1か否か}である. 実は,\ 1例目は見た目上簡潔だが,\ 正確には次の手順を踏まなければならない. {(x-3)³}’=3(x-3)²{(x-3)’}=3(x-3)²{1}=3(x-3)² 要は,\ {置換して微分したとき,\ 置換したものの微分を掛ける必要がある}のである. 1例目は,\ xの係数が1なので,\ たまたま普通の微分と同じように見えたのである. 結局,\ ( )内が{1次式かつxの係数が1}の場合は普通の微分と同様にしてよい. ただし,\ それ以外の場合は,\ {( )内の微分を掛ける}のを忘れてはならない. 累乗の微分を展開なしで瞬殺するこの公式を必ず習得することは{必須}である. 今後この微分が恐ろしいほど頻出するので,\ 注意点も含めて確認しておこう. {1次式かつxの係数が1}1次式$[何次式でも}]$  最後に,\ 積の微分と${f(x)}^n$の微分の混合型の例を示しておく. 因数分解の方向で}]$}
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