平均変化率、微分係数f'(a)の定義と図形的意味、微分係数の定義を利用する極限

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関数$y=f(x)$で,\ $\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}$を$x$が$a$から$b$まで変化するときの\textbf{\textcolor{blue}{平均変化率}}という. \\[.2zh]  平均変化率は,\ 2点A$(a,\ f(a))$,\ B$(b,\ f(b))$を通る直線ABの傾きを表す. \\[1zh]  $\bm{\textcolor{red}{\dlim{b\to a}\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}}}\ \cdots\cdots\,\maru1$が極限値をもつとする. \\[.5zh]  この極限値を$x=a$における\textbf{\textcolor{blue}{微分係数}}といい,\ $\bm{\textcolor{blue}{f'(a)}}$で表す.  \maru1,\ \maru2が微分係数$f'(a)$の定義式である. 微分係数$\bm{f'(a)}$の図形的意味}} \\[1zh]   $b\longrightarrow a$のとき,\ 図形的には点B$(b,\ f(b))$が点A$(a,\ f(a))$に限りなく近づく. \\[.2zh]   それに応じて,\ \textcolor{magenta}{直線ABは点Aを通り傾きが$f'(a)$である直線ATに限りなく近づく.} \\[.2zh]   この直線ATを$y=f(x)$における点Aの\textbf{\textcolor{blue}{接線}},\ 点Aをこの接線の\textbf{\textcolor{blue}{接点}}という. \\[1zh]   結局, \textbf{\textcolor{blue}{微分係数$\bm{f'(a)}$は点A$\bm{(a,\ f(a))}$における接線の傾き}}を表す. \\\\ 平均変化率\,\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}\,は,\ 単に\,\bunsuu{(yの増加量)}{(xの増加量)}=(直線の傾き)\,という中学レベルの話である. \\\\ b=a+hとすると,\ b\longrightarrow aはa+h\longrightarrow a,\ つまりh\longrightarrow0である. \\[.2zh] 微分係数の定義式は2つの表現を両方覚えておく必要がある. \\[.2zh] 丸暗記ではなく\bm{平均変化率の極限であることや図形的意味を含めて覚える}と忘れないだろう. \\[.2zh] 点\text Bが点\text Aに近づくときの直線\text{AB}の変化をイメージとしてもっておくことが重要である. \\[1zh] 接線の傾きをf'(a)と定義したように見えるが,\ 実際には逆である. \\[.2zh] \bm{f'(a)が存在するとき,\ それを傾きとする直線を接線と定義する}のである. f(x)=2x^2-5x+4$とする.\ 微分係数の定義に基づき,\ $f'(1)$を求めよ. \\ いずれの定義式でも求まるが,\ 強いて言えば\dlim{h\to0}\bunsuu{f(a+h)-f(a)}{h}\,を用いるのが一般的である. \\[.8zh] 微分係数の定義式は,\ そのままの形でh\longrightarrow 0やb\longrightarrow aとしただけでは\,\bunsuu00\,の不定形となる. \\[.6zh] 具体的な関数f(x)で計算し,\ 約分すると不定形が解消される. 微分係数$f'(a)$が存在するとき,\ 次の極限値を$a,\ f(a),\ f'(a)$を用いて表せ. \\微分係数の定義を利用する極限}}} 普通は,\ f'(a)を求めるために\ \dlim{h\to0}\bunsuu{f(a+h)-f(a)}{h}\ や\ \dlim{b\to a}\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}\ を計算する. \\[.8zh] 一方,\ これを逆に利用すると,\ 一部の極限をf'(a)で表すことができる. \\\\ (1)\ \ 2つの表現のうち明らかに\ \dlim{h\to0}\bunsuu{f(a+h)-f(a)}{h}\ の方に近いので,\ これの利用を考える. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ h\longrightarrow0のとき3h\longrightarrow0だからといって,\ \dlim{h\to0}\bunsuu{f(a+3h)-f(a)}{h}=f'(a)としてはならない. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 定義式は,\ 実用上は\ \bm{\dlim{h\to0}\bunsuu{f(a+○)-f(a)}{○}=f'(a)\ と認識しておく}必要がある. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{○の部分が等しくなるように無理矢理変形}して適用しなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ f(x)はこれで1つのものなので,\ f(a+3h)の括弧内をいじることは困難である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ いじりやすい分母を3hに合わせる.\ 後は3を掛けてつじつまを合わせればよい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{分子に-f(a)+f(a)\ (=0)を付け加える}ことにより,\ 定義式の形を無理矢理作り出す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (1)と同様に○をそろえた後,\ \bm{\dlim{x\to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\dlim{x\to a}f(x)+l\dlim{x\to a}g(x)}\ を利用する. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 定数は\dlim{} の前に出せ,\ また,\ 和の\dlim{} は\dlim{} の和に分割できることを意味している. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 決して自明な性質ではないが,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I}の範囲では細かいことは気にせず使えばよい. \\[1zh] (3)\ \ 定義式\ \dlim{b\to a}\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}\ の利用を考える. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{分子に-a^2f(a)+a^2f(a)を付け加える}ことにより,\ 定義式の形を無理矢理作り出す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (2),\ (3)は経験が必要だろう.
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