1点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式は y-y_1=m(x-x_1)} (図形と方程式で学習済)
ここで,\ 微分係数f'(a)は,\ y=f(x)上の点(a,\ f(a))における接線の傾きを表す}のであった.
接線の方程式は,\ 1点(a,\ f(a))を通る傾きf'(a)の直線なので y-f(a)=f'(a)(x-a)}
接線の方程式は,\ 特別に暗記すべき公式ではない.\ \ 正体はy-y_1=m(x-x_1)だからである.
ただし,\ 少しでも時間を短縮することを考え,\ f(a)を移項した形を公式として覚えておくのもよい.
ある点における接線と直交する直線}をその点における法線}という.
傾きがそれぞれm_1,\ m_2\,である2直線の垂直条件は,\ m_1･ m_2=-\,1}であった.
接線の傾きをf'(a),\ 法線の傾きをm_2\,とすると,\ f'(a)･ m_2=-\,1より,\ m_2=-1}{f'(a)}\,である.
法線の方程式は,\ 1点(a,\ f'(a))を通る傾き-1}{f'(a)}\,の直線なので y-f(a)=-1}{f'(a)}(x-a)
分母にf'(a)があるので,\ これはf'(a)≠0のときの法線の方程式である.
接線の傾きf'(a)=0のとき接線はx軸に平行な直線なので,\ 法線はx軸と垂直な直線}になる.
これはy=の形では表せない.\ 点(a,\ f(a))を通るx軸に垂直な直線なので,\ x=aである.
)\ \ 曲線$y=x^3-4x\ 上のx=-\,1の点における接線の方程式を求めよ.$
(2)\ \ 曲線$y=x^2+3x-2$において,\ 傾きが5であるような接線の方程式を求めよ. \\
接線を求める問題は,\ 接点が既知か否か}で大きく2パターンある.
曲線\dot{上}の点\dot{に}\dot{お}\dot{け}\dot{る}接線の問題}は,\ 接点が既知}のパターンである.
本問はy座標が不明だが,\ 接点のx座標から直ちに求められる.
接点と接線の傾きを求め,\ y=f'(a)(x-a)+f(a)に代入すればよい.
y=(3x^2-4)\{x-(-\,1)\}+3とするミス}が恐ろしく多いので注意！
微分しただけでは接点における接線の傾きは求まらない.
微分した式に接点のx座標を代入して初めて接線の傾きが求まる.}
点$(0,\ -\,1)から曲線y=x^2\,に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ.$
(2)\ \ 曲線$y=x^2$上の点(1,\ 1)と(0,\ 0)における法線の方程式を求めよ. \\
接点(-\,1,\ 1)のとき & 接線の方程式\ y=-2x-1
接点(1,\ 1)のとき & 接線の方程式\ y=2x-1
曲線\dot{外}の点\dot{か}\dot{ら}\dot{引}\dot{い}\dot{た}接線の問題}なので,\ 接点が不明}のパターンである.
本問に限らず,\ 接線の問題で接点が不明な場合,\ とにかくまず接点を文字でおく.}
文字でおきさえすれば,\ 接線の方程式を作成することができる.
このとき,\ (a,\ b)とおくと文字数が増えて後が面倒なので,\ (a,\ a^2)と1文字で設定する.
y’=2xに接点のx座標aを代入すると,\ 接線の傾きが2aとなる.
接線の方程式は,\ y=Ax+Bの形に整理しておく.
後は,\ この接線が(0,\ -\,1)を通るようにaを定めればよい.}
さらに,\ 求まったaを接点(a,\ a^2)と接線の方程式y=2ax-a^2\,に代入する.
(2)\ \ $y’=2x$より,\ 点(1,\ 1)における接線の傾きは $2･1=2$
法線の傾きを$m$とすると $2･ m=-\,1}$ より $m=-12$
点(1,\ 1)における法線の方程式は}$ より $y=-12x+32}$
点(0,\ 0)における法線の方程式は $x=0}$
法線の方程式の公式も暗記しておく必要はない.
垂直条件m_1m_2=-\,1}およびy-y_1=m(x-x_1)}を用いて求めれば済むからである.
