接線の方程式と法線の方程式

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1点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式は \bm{y-y_1=m(x-x_1)} (図形と方程式で学習済) \\[1zh] ここで,\ \bm{微分係数f'(a)は,\ y=f(x)上の点(a,\ f(a))における接線の傾きを表す}のであった. \\[.2zh] 接線の方程式は,\ 1点(a,\ f(a))を通る傾きf'(a)の直線なので \bm{y-f(a)=f'(a)(x-a)} \\[1zh] 接線の方程式は,\ 特別に暗記すべき公式ではない.\ \ 正体はy-y_1=m(x-x_1)だからである. \\[.2zh] ただし,\ 少しでも時間を短縮することを考え,\ f(a)を移項した形を公式として覚えておくのもよい. \\[1zh] ある点における\bm{接線と直交する直線}をその点における\bm{法線}という. \\[.2zh] 傾きがそれぞれm_1,\ m_2\,である2直線の垂直条件は,\ \bm{m_1\cdot m_2=-\,1}であった. \\[.2zh] 接線の傾きをf'(a),\ 法線の傾きをm_2\,とすると,\ f'(a)\cdot m_2=-\,1より,\ m_2=-\bunsuu{1}{f'(a)}\,である. \\[.8zh] 法線の方程式は,\ 1点(a,\ f'(a))を通る傾き-\bunsuu{1}{f'(a)}\,の直線なので y-f(a)=-\bunsuu{1}{f'(a)}(x-a) \\[1zh] 分母にf'(a)があるので,\ これはf'(a)\neqq0のときの法線の方程式である. \\[.2zh] 接線の傾きf'(a)=0のとき接線はx軸に平行な直線なので,\ 法線は\bm{x軸と垂直な直線}になる. \\[.2zh] これはy=の形では表せない.\ 点(a,\ f(a))を通るx軸に垂直な直線なので,\ x=aである. )\ \ 曲線$y=x^3-4x\ 上のx=-\,1の点における接線の方程式を求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 曲線$y=x^2+3x-2$において,\ 傾きが5であるような接線の方程式を求めよ. \\ 接線を求める問題は,\ \bm{接点が既知か否か}で大きく2パターンある. \\[.2zh] \bm{曲線\dot{上}の点\dot{に}\dot{お}\dot{け}\dot{る}接線の問題}は,\ \bm{接点が既知}のパターンである. \\[.2zh] 本問はy座標が不明だが,\ 接点のx座標から直ちに求められる. \\[.2zh] 接点と接線の傾きを求め,\ y=f'(a)(x-a)+f(a)に代入すればよい. \\[1zh] y=(3x^2-4)\{x-(-\,1)\}+3とする\bm{ミス}が恐ろしく多いので注意! \\[.2zh] 微分しただけでは接点における接線の傾きは求まらない. \\[.2zh] \bm{微分した式に接点のx座標を代入して初めて接線の傾きが求まる.} 点$(0,\ -\,1)から曲線y=x^2\,に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 曲線$y=x^2$上の点(1,\ 1)と(0,\ 0)における法線の方程式を求めよ. \\ 接点(-\,1,\ 1)のとき & 接線の方程式\ y=-2x-1 \\[.2zh] 接点(1,\ 1)のとき & 接線の方程式\ y=2x-1 \bm{曲線\dot{外}の点\dot{か}\dot{ら}\dot{引}\dot{い}\dot{た}接線の問題}なので,\ \bm{接点が不明}のパターンである. \\[.2zh] 本問に限らず,\ 接線の問題で\bm{接点が不明な場合,\ とにかくまず接点を文字でおく.} \\[.2zh] 文字でおきさえすれば,\ 接線の方程式を作成することができる. \\[.2zh] このとき,\ (a,\ b)とおくと文字数が増えて後が面倒なので,\ (a,\ a^2)と1文字で設定する. \\[.2zh] y’=2xに接点のx座標aを代入すると,\ 接線の傾きが2aとなる. \\[.2zh] 接線の方程式は,\ y=Ax+Bの形に整理しておく. \\[.2zh] 後は,\ この\bm{接線が(0,\ -\,1)を通るようにaを定めればよい.} \\[.2zh] さらに,\ 求まったaを接点(a,\ a^2)と接線の方程式y=2ax-a^2\,に代入する.  (2)\ \ $y’=2x$より,\ 点(1,\ 1)における接線の傾きは $2\cdot1=2$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 法線の傾きを$m$とすると $\textcolor{cyan}{2\cdot m=-\,1}$ より $m=-\bunsuu12$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 点(1,\ 1)における法線の方程式は}$ より $\bm{y=-\bunsuu12x+\bunsuu32}$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \ 点(0,\ 0)における法線の方程式は $\bm{x=0}$ 法線の方程式の公式も暗記しておく必要はない. \\[.2zh] \bm{垂直条件m_1m_2=-\,1}および\bm{y-y_1=m(x-x_1)}を用いて求めれば済むからである.
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