関数の増減と極値の定義(基本事項まとめ)

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区間Iで微分可能な関数f(x)について$ \\[.5zh]    \maru1\ \ $\bm{ある区間Iで常に\textcolor{red}{f'(x)>0}\ \,\Longrightarrow\,\ f(x)は区間Iで\textcolor{red}{単調に増加}する.}$ \\[.2zh]    \maru2\ \ $\bm{ある区間Iで常に\textcolor{red}{f'(x)<0}\ \,\Longrightarrow\,\ f(x)は区間Iで\textcolor{red}{単調に減少}する.}$ \\[.2zh]    \maru3\ \ $\bm{ある区間Iで常に\textcolor{red}{f'(x)=0}\ \Longleftrightarrow\ \hspace{.1zw}f(x)は区間Iで\textcolor{red}{定数}である.}$ \bm{x_1f(x_2)}\ が成り立つとき,\ \bm{f(x)は単調に減少する}という. \\[.2zh] \bm{xが増加するときyは減少する}ということである. \\[1zh] 直感的な説明は次である. \\[.2zh]  f'(x)>0は\bm{接線の傾きが正}であることを意味するから,\ 右上がりのグラフとなる. \\[.2zh]  f'(x)<0は\bm{接線の傾きが負}であることを意味するから,\ 右下がりのグラフとなる. \\[1zh] 厳密な証明は,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分法で学習する平均値の定理による.\ 概要のみ示す. \\[.2zh] 平均値の定理より \bunsuu{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c),\ \ x_10のとき f'(c)=\bunsuu{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\ より f(x_2)>f(x_1) \\\\ \maru1,\ \maru2の逆は成り立たない. \\[.2zh] \maru1の\Longleftarrow の代表的な反例は単調増加関数f(x)=x^3\,である(右図). \\[.2zh] f'(x)=3x^2\,よりf'(0)=0であるから,\ f'(x)>0は成り立たない. \\[.2zh] 図形的には,\ x=0のときの一瞬だけx軸と平行(傾き0)になる. \\[1zh] そもそもf(x)=x^3\,は単調増加関数なのかと思う人もいるだろう. \\[.2zh] 一瞬傾きが0になる点があっても,\ x_1x_2\ \longrightarrow\=”” f(x_1)f(x_2)\,が成り立つ.=”” \\[.2zh]=”” よって,\=”” f(x)=”x^3\,は全区間で単調に増加する.{関数の極値}}” \\[1zh]=””   \maru1\=”” \=”” $f(x)$が\textbf{$\bm{x=”a}$を境にして\textcolor{red}{増加から減少}に変わる}とする.”    \=”” このとき,\=”” $f(x)$は$x=”a$で\textbf{\textcolor{blue}{極大}},\” $f(a)$を\textbf{\textcolor{blue}{極大値}}という.=”” $f(x)$が微分可能な関数ならば,\=”” \textbf{\textcolor{red}{$\bm{f'(x)}$の符号}は$\bm{x=”a}$を境に\textcolor{red}{正から負}に変わる.}”   \maru2\=”” $f(a)$を\textbf{\textcolor{blue}{極小値}}という.=””   極大値と極小値をまとめて\textbf{\textcolor{blue}{極値}}という.=””   極値に関しては以下の2点に注意する.\=”” 特に,\=”” [2]\,は重要である.=””   [1]\=”” 極値の定義には$f'(x)$は関係していない.=”” \phantom{  [1]}\=”” 上中央図のように\textbf{\textcolor{purple}{尖っている(微分不可能)な点でも極値になりえる.}}=””   [2]\=”” $f(x)$を微分可能な関数とする.=”” $\bm{\textcolor{red}{f(x)がx=”aで極値をとる\” f'(a)=”0}}$\” は成り立つが,\=”” \textbf{\textcolor{red}{逆は成り立たない.}}=”” つまり,\=”” \textbf{\textcolor{forestgreen}{$\bm{f'(a)=”0}$だからといって$\bm{x=a}$で極値をとるとは限らない.}}” $\longleftarrow$の代表的な反例が$f(x)=”x^3$の$x=0$である(上右図).” $f'(x)=”3x^2$より$f'(0)=0$だが,\” 増加から増加なので$x=”0$で極値をとらない.” <="" div="">
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