区間Iで微分可能な関数f(x)について$
①\ \ $ある区間Iで常にf'(x)>0}\ \,⇒\,\ f(x)は区間Iで単調に増加}する.}$
②\ \ $ある区間Iで常にf'(x)<0}\ \,⇒\,\ f(x)は区間Iで単調に減少}する.}$
③\ \ $ある区間Iで常にf'(x)=0}\ ⇔\ .1zw}f(x)は区間Iで定数}である.}$
x_1f(x_2)}\ が成り立つとき,\ f(x)は単調に減少する}という.
xが増加するときyは減少する}ということである.
直感的な説明は次である.
f'(x)>0は接線の傾きが正}であることを意味するから,\ 右上がりのグラフとなる.
f'(x)<0は接線の傾きが負}であることを意味するから,\ 右下がりのグラフとなる.
厳密な証明は,\ 数III}の微分法で学習する平均値の定理による.\ 概要のみ示す.
平均値の定理より f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c),\ \ x_10のとき f'(c)=f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\ より f(x_2)>f(x_1)
①,\ ②の逆は成り立たない.
①の\Longleftarrow の代表的な反例は単調増加関数f(x)=x^3\,である(右図).
f'(x)=3x^2\,よりf'(0)=0であるから,\ f'(x)>0は成り立たない.
図形的には,\ x=0のときの一瞬だけx軸と平行(傾き0)になる.
そもそもf(x)=x^3\,は単調増加関数なのかと思う人もいるだろう.
一瞬傾きが0になる点があっても,\ x_1x_2\ ↔\=”” f(x_1)f(x_2)\,が成り立つ.=””=”” よって,\=”” f(x)=”x^3\,は全区間で単調に増加する.{関数の極値”=”” ①\=”” \=”” $f(x)$が$x=”a}$を境にして増加から減少}に変わる}とする.” \=”” このとき,\=”” $f(x)$は$x=”a$で極大,\” $f(a)$を極大値という.=”” $f(x)$が微分可能な関数ならば,\=”” $f'(x)}$の符号}は$x=”a}$を境に正から負}に変わる.}” ②\=”” $f(a)$を極小値という.=”” 極大値と極小値をまとめて極値という.=”” 極値に関しては以下の2点に注意する.\=”” 特に,\=”” [2]\,は重要である.=”” [1]\=”” 極値の定義には$f'(x)$は関係していない.=”” [1]}\=”” 上中央図のように尖っている(微分不可能)な点でも極値になりえる.=”” [2]\=”” $f(x)$を微分可能な関数とする.=”” $f(x)がx=”aで極値をとる\” f'(a)=”0$\” は成り立つが,\=”” 逆は成り立たない.=”” つまり,\=”” $f'(a)=”0}$だからといって$x=a}$で極値をとるとは限らない.” $\longleftarrow$の代表的な反例が$f(x)=”x^3$の$x=0$である(上右図).” $f'(x)=”3x^2$より$f'(0)=0$だが,\” 増加から増加なので$x=”0$で極値をとらない.” <="" div="">
