三角関数の最大・最小(微分利用)

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differential-formula
2倍角・3倍角の公式}を用いて\bm{角と関数を統一}すると,\ \sin x\,の1変数関数となる. \\[.2zh]  \sin3x=-\,4\sin^3x+3\sin x, \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 \\[.2zh] \cos2xは3通りの表現があるが,\ 関数の統一も兼ねて \sin xのみの表現のものを適用する. \\[.2zh] 三角関数分野でも同種の問題を取り上げたが,\ 本問は置換で3次関数になるので微分の出番となる. \\[1zh] 一般に,\ \bm{置換したときは置換後の文字の範囲に注意する}必要がある. \\[.2zh] 0\leqq x\leqq\pi\,のとき,\ 0\leqq\sin x\leqq1である. \\[.2zh] 結局,\ 0\leqq t\leqq1の範囲でy=-\,4t^3-8t^2+11t+4の最大・最小を求めることに帰着する. 2倍角の公式\,\sin2x=2\sin x\cos xを用いると,\ \bm{\sin xと\cos xの対称式}となる. \\[.2zh] 2変数x,\ yの対称式とは,\ xとyを入れ替えても変わらない式のことである. \\[.2zh] \sin xと\cos xの対称式は,\ \bm{\sin x+\cos x=tと置換する}のであった. \\[.2zh] さらに,\ \bm{三角関数の合成}をして,\ tのとりうる値の範囲を求める. \\[.2zh] x+\bunsuu{\pi}{4}\,の範囲を確認したうえで,\ その \sin のとりうる値の範囲を考える必要がある. \\\\ 2変数x,\ yの対称式は,\ 必ず基本対称式x+y,\ xyのみで表せるのであった. \\[.2zh] \sin x+\cos x,\ \sin x\cos xのみで表すため,\ 公式x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)を利用する. \\[.2zh] また,\ \sin xと\cos xの対称式は,\ \bm{和\sin x+\cos xを2乗することで積\sin x\cos xと結びつく.} \\[.2zh] 結局,\ 1変数tの3次関数の最大・最小に帰着する. \\[1zh]
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