放物線の接線・法線に関して対称な直線が通る定点（放物線の焦点）

放物線\ $C:y=x^2$\ 上に点P$(a,\ a^2)\ (a>0)$がある.\ また,\ 直線$x=a$を$\ell_1$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $C$上の点Pにおける法線$n$に関して,\ 直線$\ell_1$と対称な直線$\ell_2$の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $C$上の点Pにおける接線$m$に関して,\ 直線$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(2)}\ \ 2直線$m,\ \ell_1$のなす角を$\theta\left(0<\theta<\bunsuu{\pi}{2}\right)$とするとき,\ 2直線$m$と$\ell_3$の傾きを \\[.4zh] \hspace{.5zw}\phantom{(2)}\ \ $\theta$で表せ.\ また,\ $\ell_3$の方程式を$a$で表せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $\ell_2,\ \ell_3$が定点を通ることを示し,\ その座標を求めよ. \\ 放物線の接線・法線に関して対称な直線が通る定点}}}} \\\\[.5zh] 　(1)\ \ $y'=2x$　　　　$a\neqq0$より,\ 法線$n$の方程式は　$\textcolor{cyan}{y=-\bunsuu{1}{2a}x+a^2+\bunsuu12}$ \\[1zh] \phantom{　(1)}\ \ $点(a,\ 0)$を法線$n$に関して対称移動した点を$(X,\ Y)$とする. \\[1zh] \phantom{　(1)}\ \ 法線$n$と2点$(a,\ 0),\ (X,\ Y)$を結ぶ線分は直交するから \\[.2zh] まず,\ 法線nを求める.\ 点\text Pにおける接線の傾きは2aである. \\[.2zh] 2直線の垂直条件は\bm{(傾きの積)=-\,1}であるから,\ 法線nの傾きは-\bunsuu{1}{2a}\,(a\neqq0)である. \\[.8zh] 法線nは点\text Pを通る傾き-\bunsuu{1}{2a}\,の直線であるから　y=-\bunsuu{1}{2a}(x-a)+a^2=-\bunsuu{1}{2a}x+a^2+\bunsuu12 \\\\ \ell_2\,を求めるには,\ まず\bm{\ell_1\,上の任意の1点を法線nに関して対称移動した点(X,\ Y)を求める.} \\[.2zh] \bm{この点と点\textbf Pを通る直線が\,\ell_2}\,である(下図).\ 実質的に直線に関する対称点を求める問題となる. \\[.2zh] 直線に関して対称な直線を求める時の一般的な考え方である. \\[1zh] 任意の1点としてx=a上で最も簡単な点(a,\ 0)を用いた. \\[.2zh] 対称点を求めるには,\ \bm{直交条件と二等分条件を立式して連立する}のであった. \\[.2zh] \bm{法線nが2点(a,\ 0),\ (X,\ Y)の垂直二等分線}になるようにすればよいわけである. \\[.2zh] 直交条件は\bm{(傾きの積)=-\,1}である.\ 二等分条件は,\ \bm{2点の中点が法線n上にある}と考える. \\[.2zh] X,\ Yの連立方程式となるのでこれを解けばよい.\ aは定数である. \\[1zh] 　(2)\ \ 接線$m$,\ 直線$\ell_3$と,\ $x$軸の正方向とのなす角をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする. \\[1zh 結論から言えば,\ (1)の\,\ell_2\,と(2)の\,\ell_3\,は同じ直線である. \\[.2zh] (1)と(2)の解答で,\ この直線を求める代表的な方法を2つ示したことになる. \\[.2zh] 実際の入試では,\ (1)と(2)のどちらかに誘導されることがほとんどである. \\[1zh] さて,\ \bm{(傾き)=(x軸の正方向とのなす角の\tan)}であった. \\[.2zh] よって,\ \tan\alpha\,と\,\tan\beta\,を求めればよいわけだが,\ \theta=\bunsuu{\pi}{4}\,のとき\,\ell_3\,はx軸と平行となる(下左図). \\[.8zh] また,\ \theta>\bunsuu{\pi}{4}\,のとき\,\beta\,の図形的な位置が変わるので場合分けして考える(下右図). \\\\ 0<\theta<\bunsuu{\pi}{4}\,のとき,\ 上図のようになるので普通に求められる.\ \ \tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\bunsuu{1}{\tan\theta}\,は公式である. \\[.8zh] \theta=\bunsuu{\pi}{4}\,のとき,\ 下左図より直線\,\ell_3\,の傾きは0である. \\[.8zh] \bunsuu{\pi}{4}<\theta<\bunsuu{\pi}{2}\,のとき,\ 下右図において\text A(a,\ 0),\ \ell_3\,とx軸との交点を\text Bとする. \\[.8zh] \beta=\angle\mathRM{BAP+\angle APB}=\bunsuu{\pi}{2}+\pi-2\theta\ となる(三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和). \\[.8zh] 公式\,\tan(\pi+\theta)=\tan\theta\,を利用すると　\tan\hspace{-.2zw}\left\{\pi+\left(\bunsuu{\pi}{2}-2\theta\right)\right\}=\tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-2\theta\right) \\[1.2zh] \theta=\bunsuu{\pi}{4}\,のとき\,\bunsuu{1}{\tan\theta}=1より,\ 直線mの傾きは0<\theta<\bunsuu{\pi}{2}\,のとき常に\,\bunsuu{1}{\tan\theta}\,である. \\[.8zh] また,\ \theta=\bunsuu{\pi}{4}\,のとき,\ \tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-2\theta\right)=\tan0=0である. \\[.8zh] よって,\ 直線\,\ell_3\,の傾きは,\ 0<\theta<\bunsuu{\pi}{2}\,のとき常に\tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-2\theta\right)である. \\[.8zh] ただし,\ \theta=\bunsuu{\pi}{4}\,のときは\,\bunsuu{1}{\tan2\theta}\,の形にはできない.\ \tan\bunsuu{\pi}{2}\,は値が存在しないからである. \\[.8zh] 傾きを求めるだけならば,\ 0<\theta<\bunsuu{\pi}{2}\,のとき\ \tan\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-2\theta\right)とまとめて答えるのもよい. \\[.8zh] \ell_3\,をaで表すには\,\bunsuu{1}{\tan2\theta}\,とする必要があるので,\ まとめずに答えておいた. \\[1.3zh] 接線mの傾きに着目すると\,\tan\theta\,をaで表せる. \\[.2zh] さらに,\ \bm{2倍角の公式}を用いると,\ \ell_3\,の傾き\,\bunsuu{1}{\tan2\theta}\,をaで表せる. \\[.8zh] ここで,\ \text{(ii)}のとき接線の傾き2aが1となることから,\ 接点の座標は\text P\left(\bunsuu12,\ \bunsuu14\right)である. \\[.8zh] よって,\ このときの直線\,\ell_3\,の方程式はy=\bunsuu14\,である. \\[.8zh] \maru1においてa=\bunsuu12\,とするとy=\bunsuu14\,となるから,\ \maru1は\text{(ii)}の場合も含んでいる. 　(3)\ \ 直線$\ell_3$の方程式を変形すると　$4xa^2+(1-4y)a-x=0$ \\[.5zh] \phantom{　(3)}\ \ この等式が$a$の値によらず成り立つ条件は　$\textcolor{red}{4x=0,\ \ 1-4y=0,\ \ -\,x=0}$ \\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{aの値によらず,\ 定点\left(0,\ \bunsuu14\right)を通る.}$} 常にある1点を通るということは,\ 数式的にはその点を代入すると常に成り立つということである. \\[.2zh] よって,\ aの値によらず通る定点を求めるとき,\ \bm{aについての恒等式と考える}のであった. \\[.2zh] 具体的には,\ \bm{aで整理して係数比較する}ことになる. \\[.2zh] 　\bm{ax^2+bx+c=0\,がxについての恒等式\ \Longleftrightarrow\ a=0\ かつ\ b=0\ かつ\ c=0} 　本問には,\ \textbf{\textcolor{blue}{放物面における光の反射}}という背景がある. \\[1zh] 　放物線の内側が鏡になっており,\ 光が$y$軸と平行に入射してくるとする. \\[.2zh] 　接線・法線に関して対称移動した直線が反射後の光の進行方向を表す. \\[.2zh] 　本問は,\ \textbf{\textcolor{red}{放物線の内側のどこで反射しようとも,\ 反射後$\bm{y}$軸上の定点に集まる}}ことを示す. \\[1zh] 　これがパラボラアンテナの原理である.\ 光が集まる定点を\textbf{\textcolor{blue}{焦点}}という. \\[.2zh] 　焦点に受信機を設置すると,\ 微弱な電波でも受信できる. \\[1zh] 　逆に,\ \textbf{\textcolor{red}{焦点から発射した光は,\ 反射後$\bm{x}$軸と平行に進行する.}} \\[.2zh] 　これが懐中電灯の原理である.\ 焦点に電球を設置すると,\ 光が平行に直進して遠くまで届く. \\[1zh] 　一般に,\ 放物線$y=\bunsuu{1}{4p}x^2$の焦点は$(0,\ p)$となる(本問は$p=\bunsuu14$の場合). \\[.4zh] 　数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の2次曲線でより詳しく学習する