裏技は積分の知識を要します。
の極大値と極小値の差が12√3\ になるとき,\ 定数kの値$を求めよ{3次関数の極大値と極小値の差解と係数の関係を利用}3次関数f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)=0が異なる2実数解をもつこと}である.$ f'(x)=0$の判別式を$D$とすると {解と係数の関係}より {極大値と極小値の差}は
前項で取り上げた極大値と極小値の和の問題と同様である.
極大と極小の対称性を生かし,\ 解と係数の関係を利用する.
2次方程式ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とするとき α+β=- ba,\ \ αβ= ca
最初に,\ 3次関数が極値をもつための条件(f'(x)=0のD>0)を確認}しておく.
3次関数は極大と極小をセットでもつから,\ f'(x)=0が異なる2個の実数解をもつ必要がある.
f'(x)=0の2個の実数解を\,α,\ β\,とおくと,\ それが極大と極小のx座標である.
和の場合とは異なり,\ 極大値と極小値の差を求める場合は\,α\,と\,β\,の大小関係も設定する}必要がある.
x^3\,の係数が正で,\ かつ\,α<β\ より,\ f(α)のほうが極大,\ f(β)のほうが極小}となる.
極大値と極小値の差は交代式}(2変数を入れ替えると正負が逆になる式)となる.
f(β)-f(α)=-\,\{f(α)-f(β)\}\,だからである.
交代式は必ず差を因数にもつ}のであった.\ また,\ 残りの因数は必ず対称式}となる.
よって,\ 差\,α-β\,をくくりだした後,\ 基本対称式\,α+β,\ αβ\,で表し,\ 解と係数の関係を適用}する. bm{交代式は2乗すると対称式}となることを利用して求める.
このようにして差f(α)-f(β)を整理していくと,\ 必ず( )^3\,の形になる}(理由は別解).
よって,\ ( )^3=○\,を解くことになるが,\ 3乗を展開してはならない.\ 両辺を3乗根}すれば済む.
定積分の逆と16公式を利用(推奨)\right]$ {3次関数f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)=0が異なる2実数解をもつこと}である.$
$[1]$}\ \ $f'(x)=0$の判別式を$D$とするとの2つの実数
受験数学における有名裏技の1つである.\ 非常に巧妙だが,\ 積分を学習済みであることが前提となる.
この解法の肝は,\ f(α)-f(β)の求め方である.\ それ以外は[1]と同様である.
まず,\ 定積分\ ∫{β}{α}f'(x)\,dx=[f(x)}{β}{α}=f(α)-f(β)\ を逆に用いる.}
ここで,\ α,\ β\ はf'(x)=3x^2-6kx+3=0の2つの実数解であった.
よって,\ f'(x)=3(x-α)(x-β)}\ と因数分解できるはずである.\ 係数の3を忘れないように注意.
後は,\ 16公式\ ∫{α}{β}(x-α)(x-β)\,dx=-16(β-α)^3}\ を適用すればよい.
ここでは,\ ∫{β}{α}(x-α)(x-β)\,dx=16(β-α)^3\ として適用した.
結局,\ 極値の差が( )^3\,の形で表される.}\ \ [1]で( )^3\,の形になったのは必然だったわけで
以上を文字を用いて一般化すると,\ 裏技公式を作成できる.
