2定点を見込む角の最大（レギオモンタヌスの問題）

3点A(0,\ a),\ B(0,\ b),\ P(x,\ 0)\\ がある.}$ $xが動くとき,\ ∠ APBを最大にするxをaとbで表せ.}$ \\ {相加平均と相乗平均の関係}より$ \tan∠APB}\ が最大のとき,\ ∠APB}\ が最大となる ∠APB}を余弦定理やベクトルの内積としてとらえると計算が面倒になる. 座標平面上の2直線のなす角は,\ \tan\,の加法定理でとらえる}のがよい. 必ず\,α>β\,となるから,\ ∠APB}=α-β\,となる. \tanα,\ \tanβ\,は,\ 直角三角形による三角比の定義により求められる. 後は,\ \tan∠APB}を整理してできる\,(a-b)x}{x^2+ab}\,を最大にするxをどのように求めるかが問題である. 理系ならば数III}の微分を用いて求めることもできるが,\ 相当に面倒で応用も利かない. x}{x^2+A}\ の最\dot{大}値}は,\ 以下の手順で求めるのが基本である. まず,\ x≠0を確認した後,\ 分母分子をxで割る.}　　x}{x^2+A}=1}{x+ Ax} これは,\ 変数xの散らばりを少なくする}ためである. 変数xが分母に集まったことにより,\ 結局分母x+ Ax\,の最\dot{小}値を求める}ことに帰着する. そして,\ x+ Ax\,型の最小値は,\ 相加平均と相乗平均の関係}を利用して求められるのであった. 　a>0,\ b>0}\ のとき　a+b≧2√{ab}　(等号成立\ \ a=b)} \\ こうして,\ \tan∠APB}は,\ x=√{ab}\ のとき最大値\ a-b}{2√{ab\ をとることがわかる.の範囲では\,\tanθ\,の値は単調に増加する}から,\ これが求めるxである.,図形的解法（方べきの定理の利用）\,] 　　$3点A,\ B,\ P}を通る円}において,\ ∠APBは弦AB}に対する円周角である.$ \\ 　　$円の半径が最小となるとき,\ 円周角∠APB}は最大となる.}$ \\ 　　$ Pがx軸上にある条件の下で円の半径が最小となるのは,\ 円がx軸に接するとき}である.$ 　　このとき,\ $方べきの定理}より　 2定点を見込む角は,\ 円を持ち出して考える}という発想は常に持っておきたい. 一般に,\ 2定点を一定角度で見込む点は円弧上にある(円周角の定理の逆).} 言い換えると,\ 2定点を見込む角が一定となるような点の軌跡は円になる.} 仮に,\ 上図において点 Pがx軸上に限らず,\ 座標平面内(ただしx>0)を自由に動けるとしよう. 点 Pが図の円弧上(x>0)のどこにあったとしても,\ 円周角の定理より∠APB}は常に一定である. また,\ 点 Pが円内にあるとすると,\ ∠APB}は点 Pが円弧上にあるときよりも大きくなる. 逆に,\ 点 Pが円外にあるとすると,\ ∠APB}は点 Pが円弧上にあるときよりも小さくなる. 以上を考慮すると,\ 3円A,\ B,\ P}を通る円が小さくなるほど,\ ∠APB}が大きくなる.} P}がx軸上にあるという条件下で円が最小になるのは,\ 円がx軸と接するとき}である. 実際,\ 上図において接点以外のx軸上の点は全て円の外部となる. よって,\ 接点以外の点から点A,\ B}を見込む角は,\ 接点から点A,\ B}を見込む角よりも小さくなる. 結局,\ 円がx軸と接するときのOP}の長さが求めるx}であり,\ 方べきの定理}で求めると簡潔に済む. 円と交わる2直線がx軸,\ y軸,\ その交点が原点であるから　OP^2=OA× OB 本問は,\ 壁に掛けられた絵画AB}をどの位置から見るべきかを考えるときの1つのモデルである. (見やすい)=(視野角が大きい)とすると,\ x=√{ab}\,となる位置から見るべきというわけである. これは,\ レギオモンタヌスの問題として知られている.