two-point-max



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3点 [福井大] \\ が最大のとき,\ \angle\mathRM{APB}\ が最大となる.}}}$ \\\\ \angle\mathRM{APB}を余弦定理やベクトルの内積としてとらえると計算が大変である. \\ \bm{座標平面上の2直線のなす角は,\ \tan の加法定理でとらえる}のがよい. \\[1zh] 本問は,\ 状況的に必ず\ となるため,\ 絶対値をつける必要はない. \\ 仮につけたとしても,であるからすぐにはずすことができる. \\[1zh] 後は,\ \bunsuu{(a-b)x}{x^2+ab}\ を最大にするxをどう求めるかが問題である. \\ 理系ならば,\ 最悪数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分を用いることもできるが,\ 面倒で応用も利かない. \\ 本問に限らず,\ \bm{\bunsuu{x}{x^2+A}\ の最\dot{大}値}はよく問われるので,\ 次の手順を覚えておく. \\ まず,\ \bm{x\neqq0\ の確認後,\ 分母分子をxで割る.}  \bunsuu{x}{x^2+A}=\bunsuu{1}{x+\bunsuu Ax} \\ これは,\ \bm{変数を分母に集め,\ 散らばりを少なくする}効果をもつ. \\ 後は,\ \bm{分母x+\bunsuu Axの最\dot{小}値}を求めればよい.\ \bm{相加相乗平均の関係}を適用できる. \\ \ のとき a+b\geqq2\ruizyoukon{ab} (等号成立\ \ a=b)} \\[.5zh] よって x+\bunsuu Ax\geqq2\ruizyoukon{x\cdot\bunsuu Ax}=\ruizyoukon{A} より \bunsuu{1}{x+\bunsuu Ax}\leqq\bunsuu{1}{2\ruizyoukon{A}} \\[2zh] こうして,\ \tan\angle\mathRM{APB}は,\ x=\ruizyoukon{ab}\ のとき,\ 最大値\ \bunsuu{a-b}{2\ruizyoukon{ab}}\ をとることがわかる. \\[.8zh] \bm{ で\tan\theta\ が単調増加}することを考慮すれば,\ これが求めるxである.  \betu\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{図形的解法(方べきの定理の利用)}}] \\[.5zh]  $\textcolor{red}{\mathRM{3点A,\ B,\ P}を通る円}において,\ \angle\mathRM{APBは弦AB}に対する円周角である.$ \\  $\textcolor{cyan}{円の半径が最小となるとき,\ 円周角\angle\mathRM{APB}は最大となる.}$ \\  $また,\ 円の半径が最小となるのは,\ \textcolor{red}{円がx軸に接するとき}である.$ \\[1zh]  $\textcolor{red}{方べきの定理}よ \bm{2定点を見込む角は,\ 円を持ち出して考える}という発想は常に持っておきたい. \\[1zh] 一般に,\ \bm{2定点を一定角度で見込む点は円弧上にある(円周角の定理の逆).} \\ また,\ \bm{円内ではより大きい角,\ 円外ではより小さい角となる.} \\ これを考慮すると,\ 見込む角を大きくするには,\ 円をできるだけ小さくすればよい. \\ \mathRM{P}がx軸上にある条件下で最小円となるのは,\ \bm{円がx軸と接するとき}である. \\[1zh] 実際,\ 上図において接点以外のx軸上の点は全て円の外部となる. \\ よって,\ その点から見込む角は,\ 接点を\mathRM{P}としたときの\mathRM{\angle APB}よりも小さくなる. \\[1zh] 接するときの\mathRM{OP}の長さが求めるxであり,\ \bm{方べきの定理}で求めると簡潔に済む. \\ 円と交わる2直線をx軸,\ y軸,\ その交点を原点ととらえて 本問はサッカーでシュートを打つべき位置を考えるときの1つのモデルである. \\ \mathRM{線分AB}をゴールとし,\ 選手はゴールラインと垂直にx軸上を走っているとする. \\ このとき,\ 上図の接点\mathRM{P}の位置から打つと最も入りやすいといえるのである.