orthogonal-tangent



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放物線\ $y=x^2$\ 上の異なる2点A,\ Bにおける2本の接線が直交する. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 2本の接線の交点の軌跡を求めよ. \\  よって,\ 点Aにおける接線の方程式は   同様に,\ 点Bにおける接線の方程式は   この$2本の接線は直交するから  よって,\ 2本の接線の交点を$(X,\ Y)$ の異なる2解}である.$ \\[.5zh]  これは,\ \textcolor{red}{全ての実数$X$について成立}求める軌跡は,\ \bm{直線\ y=-\bunsuu14} 2つの接点を文字でおき,\ 接線の方程式を求める. \\ 2直線\が直交する条件は  2本の接線の交点の座標は,\ 当然連立方程式を解いて求める. \\ これはよく出てくるので暗記しておくとよい. \\ 特に,\ \bm{x座標がaの値によらず,\ 常に\ \alpha\ と\ \beta\ の中点になる}ことは要暗記. \\[1zh] (x,\ y)のままでもよいが,\ 軌跡上の動点を意識するため,\ 満たすような点(X,\ Y)の集合が求める軌跡である. \\ \alpha,\ \beta\ が直交条件を満たしながら変化するとき,\ 点(X,\ Y)が描く図形ともいえる. \\[1zh] 軌跡は,\ Y=-\bunsuu14より,\ y座標が常に-\bunsuu14の直線である. \\ 後は,\ 軌跡の限界を調べるため,\ x座標が取りうる値の範囲を確認する. \\ X=\bunsuu{\alpha+\beta}{2}より,\ \alpha+\beta\ (=2X)\ が取りうる範囲を考えることになる. \\ \bm{直交条件\ \alpha\beta=-\bunsuu14\ のもとで,\ \alpha+\beta\ (=2X)\ が取りうる値の範囲を考える.} \\ これは,\ 次のように考えて求めるのが普通である. \\ を満たす2実数\ \alpha,\ \beta\ が存在するようなXの範囲を求める.} \\ 本問の場合,\ \alpha\neqq\beta\ であるから,\ \bm{異なる2実数\ \alpha,\ \beta\ の存在条件}に帰着する. \\[1zh] \alpha+\beta,\ \alpha\beta\ は基本対称式である. \\ \bm{基本対称式をなす2文字の実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して考える.} \\ \alpha,\ \beta\ を2解とする2次方程式の1つは,\ (t-\alpha)(t-\beta)=0\ である. \\ これを展開して,\ 解と係数の関係を逆に使ったと考えることもできる. \\ この2次方程式が異なる2実数解\ \alpha,\ \beta\ をもつ条件は,\ Dである. \\ ここから,\ 条件を満たす(\alpha,\ \beta\ が存在するような)Xの範囲が求まるのである. \\ \bm{Xの値によらずDなので,\ Xの範囲は限定されず,\ 軌跡は直線全てとなる.} \\[1zh] 一般に,\ 放物線y=\bunsuu{1}{4p}x^2の2本の直交する接線の交点の軌跡は,\ y=-pとなる. \\ この直線は放物線の\bm{準線}と呼ばれるもので,\ 詳しくは数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}で学習する. 微分を使わない}] \\[.5zh]  2本の接線の交点を$の接線が$x$軸に垂直になることはない.}}} \\[.2zh]  よって,\ 傾きを$m$とすると,\ 点$(X,\ Y)$を通る接線の方程式は \\[.2zh]  さらに,\ $m$の2次方程式\maru1が2つの異なる実数解をもつ条件は \\[.2zh]  このとき,\ \maru1の異なる2つの実数解を${解と係数の関係  また,\ 2本の接線は直交するから 全ての実数Xについて成立}する.$ \\\\ \bm{交点を通る直線が放物線と接する}と考えて,\ 点(X,\ Y)が満たす条件を追求する. \\ 直線を基本形で設定する場合,\ x軸と垂直になる可能性の吟味を要する. \\ 点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線は \bm{y-y_1=m(x-x_1)} \\[1zh] 直線と放物線が接する条件は,\ 連立してD=0である. \\ mは接線の傾きなので,\ \bm{mの2次方程式\maru1の解は,\ 2本の接線の傾き}を意味する. \\ ここで,\ \bm{接点が異なれば,\ 接線の傾きも異なる}はずである. \\ よって,\ 題意を満たすには,\ \bm{\maru1は2つの異なる実数解をもたなければならない.} \\ ゆえに,\ さらに\bm{\maru1の判別式いう条件を立てることになる. \\ これにより,\ \bm{2本の接線の存在条件が,\ 点(X,\ Y)の条件に変換される.} \\[1zh] さらに,\ 2本の接線の直交条件を点(X,\ Y)の条件に変換する. \\ \bm{解と係数の関係}を用いると,\ 2本の接線の傾きの積が4Yとなる. \\ これが-1であることが,\ 2本の接線の直交条件である. \\[1zh] \ かつ\ Y=-\bunsuu14\ を満たす点(X,\ Y)の集合}が求める軌跡である. \\ ここで,\ \bm{Y=-\bunsuu14\ のとき,\ \ は自動的に成立する.} \\ よって,\ \bm{Xの範囲は限定されず,\ 結局\ Y=-\bunsuu14\ 全体が軌跡となる.}