放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡（放物線の準線）

放物線\ $y=x^2$\ 上の異なる2点A,\ Bにおける2本の接線が直交する. このとき,\ 2本の接線の交点の軌跡を求めよ. \\ 放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡 　　点Aにおける接線の方程式は 　　点Bにおける接線の方程式は　 　　この$2本の接線が直交するから の異なる2解}である.$ 　　判別式を$D$とすると 　　これは,\ すべての実数Xについて成立}する. 　求める軌跡は\ \ 直線\ y=-14}$} 接点が不明なので,\ 2つの接点を文字でおき,\ 接線の方程式を求める. 点(α,\ α^2)における接線の傾きは2α\,なので,\ 接線は　y=2α(x-α)+α^2=2α x-α^2 点(β,\ β^2)における接線は,\ y=2α x-α^2\,の\,α\,を\,β\,に変えればよい. 2直線\ y=m_1x+n_1とy=m_2x+n_2\ が直交する条件は　m_1m_2=-\,1} 2本の接線の交点の座標は,\ 当然連立方程式を解いて求める. \る接線の交点は　 これはよく見かけるので暗記しておくと問題の見通しがよくなる. 特に,\ x座標がaの値によらず,\ 常に\ α\ と\ β\ の中央になる}ことは重要である. 軌跡を求めることは,\ 軌跡上の動点(x,\ y)が満たすべき関係式を求めること}であった. (x,\ y)でもよいが,\ 軌跡上の動点であることを強く意識するため,\ 改めて(X,\ Y)とおいた. α,\ β\ が直交条件を満たしながら変化するとき,\ 交点は(X,\ この点(X,\ Y)の集合が求める軌跡である. まず,\ Yは-14\,で確定している.\ つまり,\ 軌跡上の動点(交点)は直線y=-14\,上にある.} 後はx座標である.\ 直交条件\ αβ=-14\ のもとで,\ X=α+β}{2}\,のとりうる値の範囲を考える.} 満たす2実数\ α,\ β\ が存在するようなXのとりうる値の範囲を求める.} \\[1.8zh] 本問の場合は\ α≠β\ であるから,\ 異なる2実数\ α,\ β\ の存在条件}に帰着する. そして,\ 基本対称式\,α+β,\ αβ\,をなす2実数存在条件は,\ 2次方程式を作成して求める}のであった. この2次方程式が異なる2実数解\ α,\ β\ をもつ条件は,\ D>0である. こうして,\ 条件を満たす(接線が直交する\ α,\ β\ が存在するような)\,Xの範囲が求まる. 本問の場合,\ Xの値によらずD>0なのでXの範囲は限定されず,\ 求める軌跡は直線全てとなる.} 一般に,\ 放物線y=1}{4p}x^2\,の2本の直交する接線の交点の軌跡は直線y=-\,pとなる. 本問はp=14\,の場合である.\ この知識があれば,\ 問題を見た時点で答えがわかる. 直線y=-\,pは放物線の準線}と呼ばれるもので,\ 詳しくは数III}:2次曲線で学習する. \,微分を使わないので微分を未学習でも可能\,}] 　　軌跡上の動点を$(X,\ Y)}$とおく. $y=x^2$の接線が$x$軸に垂直になることはない. 　　よって,\ 傾きを$m$とすると,\ 点$(X,\ Y)$を通る直線の方程式は 　　2次関数では,\ 接線が異なると接線の傾きも異なる. 　　さらに,\ $m$の2次方程式①が2つの異なる実数解をもつ条件は,\ 判別式を$D_2$とする 　　このとき,\ ①の異なる2つの実数解を$m_1,\ m_2$とする. 　　解と係数の関係　2本の接線は直交するから　 　　このとき,\ {すべての実数Xについて成立}する.$ 軌跡の問題の基本に従い,\ 軌跡上の動点を(X,\ Y)とおく. まず,\ この点(X,\ Y)を通る直線が放物線と接する条件を考える.} 本解では放物線から接線を導いたが,\ 先に直線の式を作り,\ 放物線と接するようにするわけである. 直線をy=ax+bの形(基本形)で設定する場合,\ x軸と垂直になる可能性の吟味を要する(下線部). x軸と垂直な直線はy=ax+bの形では表せない}からである. 点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線は　y=m(x-x_1)+y_1} 放物線と直線が接する条件は,\ 連立してD=0である. 直線の傾きmについての2次方程式①が導かれる. 2次関数に限っては,\ 傾きが同じである異なる2本の接線は存在しない. よって,\ 題意を満たすには,\ ①は2つの異なる実数解をもたなければならない.} ゆえに,\ さらに①の判別式D_2>0}という条件を立てることになる. こうして,\ 2本の接線の存在条件が点(X,\ Y)についての条件に変換される.} さらに,\ 2本の接線の直交条件を点(X,\ Y)についての条件に変換しなければならない. 解と係数の関係}より,\ 2本の接線の傾きの積が4Yであり,\ これが-1であることが直交条件である. 　解と係数の関係　ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とすると　α+β=- ba,\ \ αβ= ca Y