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点Pを動かして見てください。以下はGeoGebra使用上の注意です。本来は点Pが3次関数上と変曲点における接線上にあるときは接線が2本引けるはずですが、0.01の狂いもなく上になければ2本の接線が描かれません。これを手動で合わせるのはほぼ無理です。格子点には自動的にスナップしてくれますので、3次関数上と変曲点における接線上でかつ格子点である点にPを合わせてみてください。座標で言えば、極大点(-1,2)、極小点(1,-2)、点(2,2)、点(-2,-2)、点(-1,3)、点(1,-3)です。


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接点を\  点Pにおける接線の方程式は \\[.2zh] \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 接点が不明なので,\ 接点を文字でおいて接線の方程式を作成する. \\ このとき,\ 接点を(a,\ b)などとするのは,\ 文字数が増えるので避ける. \\ 接点(a,\ f(a))におけるf(x)の接線の方程式 y=f'(a)(x-a)+f(a)  さて,\ \maru1の意味を確認する.\ $\bm{\textcolor{cyan}{tは接点のx座標}}であった.$ \\  つまり,\ $このtの3次方程式\maru1を解くと,\ 接点のx座標が求まることになる.$ \\  ここで,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{\underline{3次関数に限っては}},}\ $\bm{\textcolor{red}{(接点の個数)=(接線の本数)}}$が成立する. \\  よって,\ \textbf{\textcolor{red}{接線の本数}を求めるには,\ \textcolor{red}{接点$\bm{t}$の個数}を求めればよい.} \\  結局,\ この接線の本数問題は,\ \textbf{\textcolor{blue}{実数解の個数問題(定数分離型)}に帰着}する. \\\\\\  $f(t)=-2t^3+3t^2-1\ とおくと f'(t)=-6t^2+6t=-6t(t-1)$ \\[.2zh]  $f'(t)=0\ とすると,\ t=0,\ 1より,\ 増減表とグラフは以下のようになる.$ の交点の個数が,\ \maru1の実数解の個数である.} \\[.5zh]  また,\ \textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{3次関数では,\ 接点の個数と接線の本数は一致する.}}} {\normalsize $[\textcolor{brown}{必須の記述}]$} \\[-.5zh] \bm{3次関数において,\ 接点の個数と接線の本数が一致する根拠}を考えておく. \\ 3次関数f(x)と2点\ x=\alpha,\ \beta\ で接する直線y=mx+nの存在を仮定する. \\ このとき,\ 整関数では\bm{「接する\ \Longleftrightarrow\ 重解」}なので,\ 次が成立する. \\ 2点\ \alpha,\ \beta\ で接するならば \bm{f(x)-(mx+n)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2} \\ しかし,\ \bm{(左辺)は3次式,\ (右辺)は4次式であるから矛盾する.} \\ よって,\ 3次関数が,\ 2点で接する接線(二重接線)をもつことはない. \\ ゆえに,\ \bm{\underline{3次関数では},\ 接点の個数と接線の本数が1対1に対応する}といえる. \\ 逆にいえば,\ 4次以上の関数では,\ 2点以上で接する接線を持つ可能性がある.  穴埋め式では,\ \textbf{\textcolor{blue}{引ける接線の本数の構図}}の知識を利用した\textbf{\textcolor{blue}{裏技}}が使える. \\  実は,\ \textbf{3次関数に接線を何本引けるかは,\ 図形的に決まっている(下図).} \\  まず,\ \textbf{\textcolor{red}{変曲点における接線}}を引く. \\  すると,\ \textbf{座標平面が\textcolor{magenta}{4つの領域に分割}される.} \\\\  \textbf{\textcolor{cyan}{左右の領域にある点}から引ける接線は \textcolor{cyan}{3本}} \\  \textbf{\textcolor{green}{上下の領域にある点}から引ける接線は \textcolor{green}{1本}} \\  \textbf{\textcolor{red}{3次関数自身及び変曲点における接線上の点}から引ける接線は \textcolor{red}{2本}} \\  ただし,\ \textbf{\textcolor{green}{変曲点}から引ける接線は \textcolor{green}{1本}}  \betu\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{上の構図を利用(裏技)}}] \\[.5zh]  $kが変化するとき,\ \bm{\textcolor{purple}{点(1,\ k)}は,\ \textcolor{orange}{直線x=1上}を動く.}$ \\  よって,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{x=1}$上の点がどの領域にあるかで場合分け}}して答えればよい. \\\\  変曲点$(0,\ 0)における接線の方程式は \textcolor{red}{y=-x}$ \\[1zh]  \textcolor{magenta}{変曲点における接線$y=-x$と直線$x=1$の交点}は  \textcolor{magenta}{3次関数自身と直線$x=1$の交点}は