f'(x)=0で求まるx=1±√{k^2-1}\,をf(x)に代入して極値を求めようとすると地獄絵図になる.
極大と極小の対称性を生かし,\ 解と係数の関係を利用するのがスマートな解法である.
2次方程式ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とするとき α+β=- ba,\ \ αβ= ca
最初に,\ 3次関数が極値をもつための条件(f'(x)=0のD>0)を確認}しておく.
3次関数は極大と極小をセットでもつから,\ f'(x)=0が異なる2個の実数解をもつ必要がある.
f'(x)=0の2つの実数解を\ α,\ β\ とおくと,\ それが極大と極小のx座標である.
極大値と極小値の和は対称式}(2変数を入れ替えても変わらない式)となる.
対称式は基本対称式\,α+β,\ αβ\,のみで表せる}から,\ 解と係数の関係を適用}できる.
(極大点と極小点の中点)=(変曲点)を利用(裏技)}$\3次関数f(x)が極値をもつ条件は,\ f'(x)=0が異なる2実数解をもつこと}である.$
$[1]$}\ \ $f'(x)=0$の判別式を$D$とすると
変曲点の$y$座標}は
3次関数の対称性}より,\ (極大点と極小点の中点)=(変曲点)}である.
実際には,\ y座標に関して\ (極大値)+(極小値)}{2}=(変曲点)}\ となることを用いる.
本問は(極大値)+(極小値)=2が条件なので,\ (変曲点のy座標)=1}\ となるようにkを定める.
変曲点のx座標はf”(x)=0}として求められる.\ f”(x)は,\ f(x)を2回xで微分したものである.
