extremum-sum

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f(x)=x^3-3kx^2+3x\ の極大値と極小値の和が20になるとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 定数$kの値を求めよ.$ \\  $[1]$\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{解と係数の関係を利用}}] \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ よって $判別式\ \phantom{ $[1]$}\ $f'(x)=3x^2-6kx+3=0\ の2つの実数解を\ \alpha,\ \beta\ とする.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \textcolor{cyan}{解と係数の関係}より $\textcolor{cyan}{\alpha+\beta=2k,\ \ \alpha\beta=1}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \textcolor{blue}{極大値と極小値の和}は \\[.5zh] 最初に,\ \bm{3次関数が極値をもつための条件を確認}する. \\[1zh] 極値のx座標を\ \alpha,\ \beta\ とおくと,\ \bm{極大値と極小値の和は対称式}}となる.\\ よって,\ \bm{基本対称式で表し,\ 解と係数の関係を適用}する. \\ 整理し,\ これが20となるようにkを定めればよい. 極大点と極小点の中点)=(変曲点)を利用(裏技)}$}}] \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ $f(x)=x^3-3kx^2+3x より f'(x)=3x^2-6kx+3$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ よって $判別式\変曲点のx座標}]$} \\[1zh] 変曲点の$y$座標}は  \bm{3次関数の対称性}より,\ \bm{(極大点と極小点の中点)=(変曲点)}である. \\ 実際には,\ \bm{y座標に関して\ \textcolor{red}{\bunsuu{(極大値)+(極小値)}{2}=(変曲点)}}\ となることを用いる. \\ 本問は,\ (極大値)+(極小値)=20\ が条件である. \\ よって,\ \bm{(変曲点のy座標)=10}\ となるようにkを定めればよい. \\[1zh] 変曲点のx座標は,\ \bm{f”(x)=0}\ として求める.