extremum-difference

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極大値と極小値の差が12\sqrt3\ になるとき,$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$定数kの値を求めよ.$ \\  $[1]$\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{解と係数の関係を利用}}] \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ $f(x)=x^3-3kx^2+3x+5 より f'(x)=3x^2-6kx+3$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \textcolor{cyan}{解と係数の関係}より $\textcolor{cyan}{\alpha+\beta=2k,\ \ \alpha\beta=1}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \textcolor{blue}{極大値と極小値の差}は \\[.5zh] 両辺を2乗して整理すると 3$ \\[.2zh] 3乗を展開しないように}]$} \\[.5zh] 最初に,\ \bm{3次関数が極値をもつための条件(を確認}する. \\[1zh] 極値のx座標を\ \alpha,\ \beta\ とおく.\ このとき,\ 大小関係も設定しておく \\ x^3の係数が正,\ より,\ \bm{f(\alpha)が極大,\ f(\beta)が極小}となる. \\[1zh] \bm{極大値と極小値の差は\textcolor[named]{ForestGreen}{交代式}}となる. \\ \bm{交代式は必ず差を因数にもつ.}\ また,\ \bm{残りの因数は対称式}となる. \\ よって,\ 差をくくりだした後,\ \bm{基本対称式で表し,\ 解と係数の関係を適用}する. \\[1zh] \bm{交代式は2乗すると対称式}となることを利用し,\ \alpha-\beta\ を基本対称式で表す. \\ \bm{差を整理していくと必ず( )^3の形にできる}はずである.\ 理由は別解でわかる. 定積分の逆と\bunsuu16公式を利用(推奨)}}\right]$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ $f(x)=x^3-3kx^2+3x+5 より f'(x)=3x^2-6kx+3$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき,\ f(x)は極値をもつ.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ よって $判別式\ \phantom{ $[1]$}\ $f'(x)=3x^2-6kx+3=0\ の2つの実数解を\ \alpha とする.$ \\ {解と係数の関係}より  極大値と極小値の差}は \\[.5zh]  両辺を2乗して 経験が必要な解法だが,\ 記述試験でも使用可能であり,\ 非常に強力である. \\ 序盤は[1]と同じだが,\ 極値の差の部分からは巧みに処理していく. \\[1zh] まず,\ \bm{定積分\ を逆に用いる.} \\[1zh] 次に,\ f'(x)を因数分解する. \\ の2つの実数解であった. \\ よって,\ と因数分解できるはずである. \\ 係数の3を忘れないように注意する. \\ 結局,\ \bm{極値の差が( )^3の形に表される.} \\ \bm{解と係数の関係}を用いてkで表し,\ それが12\ruizyoukon3\ となるようにすればよい. \\  これを一般化すると,\ \textbf{\textcolor{blue}{裏技公式}}を作成できる.f(x)の極大値と極小値の差}}は$ \\[.5