三角関数の3大要素とグラフの図示

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以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダーを動かしてみてください。自動再生もできます。

単位円による三角比の定義を元に、横軸を角θ、縦軸を三角比とすると三角関数のグラフになります。

基本となる3つの三角関数のグラフは要暗記 $値域:-1 y 1}, 周期:2π}, 奇関数}(原点対称} $値域:-1 y 1}, 周期:2π}, 偶関数}(y軸対称}) y=sinθ,\ y=cosθ\ の図示に必要なのは,\ {周期と値域とy軸との交点}である. y=tanθ\ は,\ {θ={π}{2}+nπ\ が漸近線となる}ことを強く意識しておこう. また,\ tan{π}{4}=1\ であることにも着目しておくとよい. さて,\ 上のグラフは全て\ {θ\ 軸とy軸の縮尺が完全に正確なグラフ}である. もし,\ θ\ が度数法による角度ならば,\ 例えば360° の位置は適当に決めるしかない. 一方,\ 弧度法による角度\ θ\ は,\ 無次元数,\ つまり単位のない{数そのもの}である. よって,\ 座標平面上に正確な位置をとることができる. 例えば,\ 360°\ は\ 2π23.14=6.28\ である. よって,\ y=cosθ\ 上の点(θ,\ y)=(2π,\ 1)\ ならば,\ (6.28,\ 1)\ にとることになる. 必要以上の正確さは時間の無駄だが,\ 最低限の正確さで図示すべきである. つまり,\ 2π\ の位置は,\ y=1の約6倍の位置にとらなければならないのである. 複雑な三角関数のグラフの図示  実際の試験では,\ 適当かつ正確かつ短時間で}描くことが要求される.  そのための手順を以下に示す.  まず,\ 式から三角関数の3大要素}(振幅,\ 周期,\ 位相})}を読み取る.  そのために,\ ${θ}$の係数をくくり出して}, 三角関数の基本形}に変形}する.  これは,\ $\ {y=sinθ$\ のグラフを次のように移動したものであるとわかる.           y方向にA倍}\ (振幅})}$           方向に{1}{k}倍}\ (周期})}$           方向に\ α\ 平行移動}(位相})}$  実際に,\ 本問のグラフを手順を追って図示する.  $y=sin{θ}\ (周期:2π)$のグラフとの関係は     $ sin の係数が2より,\ {y}方向に2倍拡大する.$ 1周期の基準}となる最重要点}\ ${θ=-23π}\ と\ θ={10}{3}π$\ をとる.  $$その中間に${θ=43π θ\ に適当な値を代入して点をとり,\ 図示しようする人がいるが,\ 最悪である. 応用が利かないし,\ 何よりも時間がかかりすぎて試験時間を無駄に浪費する. {最低限のポイントをおさえ,\ 最低限の正確さで図示する}ことが重要である. まずは,\ 基本となる3つのグラフを覚えていることが最低条件である. この{基本グラフとの違いを数式から判断}し,\ それを元に図示する. 基本形に変形することで,\ 三角関数の3大要素を読み取ることができる. まず,\ の位相について説明する. 数I}の2次関数分野で,\ 平行移動について学習した. x方向に+a平行移動したいとき,\ x\ →\ x-a\ とするのであった. 逆に言えば,\ x-a\ となっていれば,\ x方向にa平行移動したとわかる. つまり,\ {θ-α\ となっていれば,\ θ\ 方向に\ α\ 平行移動した}とわかるのである. 本問において{最も間違えやすいので注意すべき}なのは次の点であろう. \平行移動する. {(間違い)} 平行移動量は,\ {θ\ の係数が1}であってはじめてわかるのである. それゆえ,\ y=2sin12(θ+23π)のような基本形への変形が必要なのである. 次に,\ の周期について説明する. これは,\ 関数の拡大・縮小であるが,\ 何故か詳しく習わない. 関数をx方向に+a平行移動したければ,\ x-a\ と逆に-した. 同様に,\ 関数をx方向にk倍したいとき,\ x\ →\ xk\ のように逆に1k倍する. 要は,\ {式の変形とグラフは逆に対応する}のである. よって,\ {kθ\ となっていれば,\ θ\ 方向に1k倍した}とわかるのである. 本問の場合,\ 12θ\ となっているから,\ θ\ 方向に2倍すればよいとわかる. 実際には,\ {周期が基本グラフの何倍かを確認}しておく. の振幅もと同じく,\ 関数の拡大・縮小である. {y}{A}=sin θ\ をy=sinθ\ と比較すると,\ y\ →\ {y}{A}\ としたことになる. よって,\ 図形的には,\ {y方向にA倍する}ことになるわけである. 最も,\ の振幅に関しては,\ 最初から直感的にA倍だとわかるだろう. 三角関数の3大要素をもとに,\ 素早く図示する. そのために,\ まず{周期と平行移動を考慮し,\ 1周期の基準となる2点をとる.} 本問は,\ 周期4π,\ -23π\ 平行移動である. よって,\ {基本グラフの原点は,\ (-23π,\ 0)にうつる.} さらに,\ 周期4π\ より,\ {θ=-23π\ から始まった1周期は\ θ={10}{3}π\ で終わる.} ゆえに,\ グラフの図示で,\ θ=-23π,\ {10}{3}π\ が最も重要な目安となるのである. ある程度の正確さを期すには,\ π3\ と考え,\ θ-2,\ 10\ にとるとよい. 更なる目安として,\ 半周期にあたる点と14周期にあたる点もとる.\ {13}{3}π\ はおまけ. 1周期4π\ より,\ 半周期となる点は,\ -23π+2π=43π\ などとしてわかる. 14周期の点では,\ y座標が2となることにも注意して点をとる. 場合によっては,\ {y切片の値}が必要になる. θ=0\ を代入し,\
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