三角方程式の解の個数(置換型)

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以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダーを動かしてみてください。自動再生もできます。

相当なスペックがないとまともに動きません。スマホでの閲覧が厳しい場合はパソコンで閲覧してください。

左図がθとtの対応、右図がtとaの対応です。

sin²θ+cos²θ=1\ を用いて,\ {関数を統一}する. tに置換し,\ そのとりうる値の範囲を求める.  後は「$1-t²+t+a=0$\ の解の個数を数えるだけ」と考えるのは安易である.  求めるべきは,\ ${θ}$\ の個数であり,\ ${t}$の個数ではない.  よって,\ $t$の個数を求めた後,\ $θ$\ の個数に変換することになる.  ゆえに,\ ${t}$\ 1個につき,\ ${θ}$\ が何個になるのかを確認しておく必要がある.  三角関数の解の個数問題で最も厄介なのはこの部分である.  置換前の\ ${θ}$\ の個数と置換後の${t}$の個数が1対1対応とは限らないのだ.  実際に,\ ${tと\ θ\ の個数の対応を調べよう.\ もう一度,\ 単位円で考える.$  $sinθ$\ は単位円の$y座標$であり,\ 今回$sinθ=t$としたので,\ 縦軸は$t$である.  1つの${t}$の値に対応する${θ}$の個数を,\ 単位円から読み取る.  このとき,\ ${0θ76π$という範囲があることに注意する.  いくつかの$t$の値の例を挙げると次のようになっている.  $y=sinθ=t=-14}\ のとき 対応する\ θ\ は,\ 約195°\ の1個である.$    同様に $t=12}\ のとき 対応する\ θ\ は,\ 30°\ と150°\ の2個である.$    さらに $t=1}.2zw}のとき 対応する\ θ\ は,\ 90°\ の1個である.$  このように考えると,\ ${t(-12 t 1)の値に対応する\ θ\ の個数は$ のとき θ\ は1個}  (1対1対応})  θ\ は2個}  (1対2対応})    のとき θ\ は1個}  (1対1対応})  以上を踏まえて,\ 本問を解く.  定数を分離すると   この方程式の解の個数は,\ 次の2つのグラフの交点の個数と一致する. tの個数と\ θ\ の個数の対応がわかっていれば,\ tの個数を数えればよい. つまり,\ {tの2次方程式の解の個数問題}に帰着する. tに範囲がなければ,\ 2次方程式の解の個数は判別式で直ちに求まる. しかし,\ 本問の場合,\ {-12 t1\ の範囲にある解の個数}を数える必要がある. しかも,\ 解の値次第で,\ tと\ θ\ の個数の対応が変化する. 結局,\ 数式のみで考えるのは難しく,\ 図形的に考えることになる. {定数aの分離が可能な型}であるから,\ {グラフの交点としてとらえる}のがよい. 図では,\ わかりやすくするため,\ 次のように色分けした. tと\ θ\ が,\ 1対1}対応の区間\緑の実線} tと\ θ\ が,\ 1対2}対応の区間\ピンクの実線} } tの個数は,\ aの値によって変化するから場合分けをすることになる. そして,\ {tの個数を数えるのと同時に,\ θ\ の個数に変換}していく. 結局,\ 次を考慮して答えればよい. y=a}が  緑の部分}と交点を1個もつ & →θ\ は1個} y=a}がピンクの部分}と交点を1個もつ & →θ\ は2個}
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