高三のヨーコ参上まだ未婚 \cos3θ$}{ 高三\ \rubyb{$=$}{の\ \rubyb{4{ヨ\rubyb{$\cos^3θ}$}{ーコ参上\rubyb{$-}$}{まだ\rubyb{3{未\rubyb{$\cosθ}$}{婚$
②\ \ $\rubyb{$\sin3θ$}{ \ \rubyb{$=$}{ \ -\ }\rubyb{4{ \rubyb{$\sin^3θ}$}{ \rubyb{$+}$}{ \rubyb{3{ \rubyb{$\sinθ}$}{ $
先に,\ \cos3θ\,をゴロ合わせで暗記しよう.
\sin3θ\,は,\ \cosθ\ →\ \sinθ\ として正負を逆にする}と覚えておけばよい.
以下のように加法定理から導けるが,\ 試験時間内でやる余裕はない.
3倍角の公式の導出
$3θ\ →\ 2θ+θ\ として,\ 加法定理と2倍角の公式を利用する.$
$\cos3θ=\cos(2θ+θ})=\cos2θ\cosθ-\sin2θ\sinθ}$ $[\,加法定理\,}]$}
$\cos3θ}=(2\cos^2θ-1})\cosθ-2\sinθ\cosθ}･\sinθ$ .4zw}$[\,2倍角の公式\,}]$}
$\cos3θ}=2\cos^3θ-\cosθ-2\sin^2θ\cosθ$
$\cos3θ}=2\cos^3θ-\cosθ-2(1-\cos^2θ)\cosθ$
$\cos3θ}=4\cos^3θ-3\cosθ}$
$\sin3θ=\sin(2θ+θ})=\sin2θ\cosθ+\cos2θ\sinθ}$ $[\,加法定理\,}]$}
$\sin3θ}=2\sinθ\cosθ}･\cosθ+(1-2\sin^2θ})\sinθ$ .4zw}$[\,2倍角の公式\,}]$}
$\sin3θ}=2\sinθ\cos^2θ+\sinθ-2\sin^3θ$
$\sin3θ}=2\sinθ(1-\sin^2θ)+\sinθ-2\sin^3θ$
$\sin3θ}=-\,4\sin^3θ+3\sinθ}$
\cos3θ\,は\,\cosθ\,のみ,\ \sin3θ\,は\,\sinθ\,のみの式にすることを目指す.
受験数学ではまず見かけないが(暗記不必要),\ $\tan$の3倍角の公式も示しておく.
$\tan3θ}=\tan(2θ+θ})=\tan2θ+\tanθ}{1-\tan2θ\tanθ$ $[\,加法定理\,}]$}
$\tan3θ=2\tanθ}{1-\tan^2θ}+\tanθ}{1-2\tanθ}{1-\tan^2θ}･\tanθ}$ $[\,もう一度加法定理\,}]$}
$\tan3θ=2\tanθ+\tanθ(1-\tan^2θ)}{(1-\tan^2θ)-2\tan^2θ}$ $[\,分母分子に1-\tan^2θ\,を掛けた\,}]$}
$\tan3θ=3\tanθ-\tan^3θ}{1-3\tan^2θ$
