graph


単位円による三角比の定義を元に、横軸を角θ、縦軸を三角比とすると三角関数のグラフになります。
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基本となる3つの三角関数のグラフは要暗記 \mbox{\boldmath $値域:\textcolor{red}{-1 \leqq y \leqq 1}, 周期:\textcolor{red}{2\pi}, \textcolor{cyan}{奇関数}(\textcolor{cyan}{原点対称} \mbox{\boldmath $値域:\textcolor{red}{-1 \leqq y \leqq 1}, 周期:\textcolor{red}{2\pi}, \textcolor{cyan}{偶関数}(\textcolor{cyan}{y軸対称}) y=\sin\theta,\ y=\cos\theta\ の図示に必要なのは,\ \bm{周期と値域とy軸との交点}である. \\ y=\tan\theta\ は,\ \bm{\theta=\bunsuu{\pi}{2}+n\pi\ が漸近線となる}ことを強く意識しておこう. \\ また,\ \tan\bunsuu{\pi}{4}=1\ であることにも着目しておくとよい. \\[1zh] さて,\ 上のグラフは全て\ \bm{\theta\ 軸とy軸の縮尺が完全に正確なグラフ}である. \\ もし,\ \theta\ が度数法による角度ならば,\ 例えば360\Deg の位置は適当に決めるしかない. \\ 一方,\ 弧度法による角度\ \theta\ は,\ 無次元数,\ つまり単位のない\bm{数そのもの}である. \\ よって,\ 座標平面上に正確な位置をとることができる. \\ 例えば,\ 360\Deg\ は\ 2\pi\kinzi2\times3.14=6.28\ である. \\ よって,\ y=\cos\theta\ 上の点(\theta,\ y)=(2\pi,\ 1)\ ならば,\ (6.28,\ 1)\ にとることになる. \\[1zh] 必要以上の正確さは時間の無駄だが,\ 最低限の正確さで図示すべきである. \\ つまり,\ 2\pi\ の位置は,\ y=1の約6倍の位置にとらなければならないのである. 複雑な三角関数のグラフの図示}}}} \\\\  実際の試験では,\ \textbf{\textcolor{red}{\underline{適当かつ正確かつ短時間で}描く}}ことが要求される. \\  そのための手順を以下に示す. \\\\  まず,\ 式から\textbf{\textcolor{purple}{三角関数の3大要素}(\textcolor{red}{振幅,\ 周期,\ 位相})}を読み取る. \\  そのために,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{$\bm{\theta}$の係数をくくり出して}, \textcolor{blue}{三角関数の基本形}に変形}する. \\[.5zh]  これは,\ $\ \bm{\textcolor{blue}{y=\sin\theta}}$\ のグラフを次のように移動したものであるとわかる. \\[.5zh]           y方向にA倍}\ (\textcolor{red}{振幅})}$ \\[.2zh]           方向に\bunsuu{1}{k}倍}\ (\textcolor{red}{周期})}$ \\[.2zh]           方向に\ \alpha\ 平行移動}(\textcolor{red}{位相})}$ \\\\\\  実際に,\ 本問のグラフを手順を追って図示する.  $y=\sin{\theta}\ (周期:2\pi)$のグラフとの関係は \\[.5zh]     $\maru1 \sin の係数が2より,\ \textcolor{cyan}{\bm{y}\textbf{方向に2倍拡大}}する.$ \\[.2zh] 1周期の基準}となる最重要点}\ $\bm{\textcolor{blue}{\theta=-\bunsuu23\pi}\ と\ \textcolor{blue}{\theta=\bunsuu{10}{3}\pi}}$\ をとる. \\[.2zh]  $[2]$\ \ その中間に$\bm{\textcolor{red}{\theta=\bunsuu43\pi}} \theta\ に適当な値を代入して点をとり,\ 図示しようする人がいるが,\ 最悪である. \\ 応用が利かないし,\ 何よりも時間がかかりすぎて試験時間を無駄に浪費する. \\ \bm{最低限のポイントをおさえ,\ 最低限の正確さで図示する}ことが重要である. \\[1zh] まずは,\ 基本となる3つのグラフを覚えていることが最低条件である. \\ この\bm{基本グラフとの違いを数式から判断}し,\ それを元に図示する. \\ 基本形に変形することで,\ 三角関数の3大要素を読み取ることができる. \\[1zh] まず,\ \maru3の位相について説明する. \\ 数\text{I}の2次関数分野で,\ 平行移動について学習した. \\ x方向に+a平行移動したいとき,\ x\ →\ x-a\ とするのであった. \\ 逆に言えば,\ x-a\ となっていれば,\ x方向にa平行移動したとわかる. \\ つまり,\ \bm{\theta-\alpha\ となっていれば,\ \theta\ 方向に\ \alpha\ 平行移動した}とわかるのである. \\[1zh] 本問において\bm{最も間違えやすいので注意すべき}なのは次の点であろう. \\ \ 平行移動する. \bm{(間違い)} \\ 平行移動量は,\ \bm{\theta\ の係数が1}であってはじめてわかるのである. \\ それゆえ,\ y=2\sin\bunsuu12\left(\theta+\bunsuu23\pi\right)のような基本形への変形が必要なのである. \\[1zh] 次に,\ \maru2の周期について説明する. \\ これは,\ 関数の拡大・縮小であるが,\ 何故か詳しく習わない. \\ 関数をx方向に+a平行移動したければ,\ x-a\ と逆に-した. \\ 同様に,\ 関数をx方向にk倍したいとき,\ x\ →\ \bunsuu xk\ のように逆に\bunsuu1k倍する. \\ 要は,\ \bm{式の変形とグラフは逆に対応する}のである. \\ よって,\ \bm{k\theta\ となっていれば,\ \theta\ 方向に\bunsuu1k倍した}とわかるのである. \\ 本問の場合,\ \bunsuu12\theta\ となっているから,\ \theta\ 方向に2倍すればよいとわかる. \\ 実際には,\ \bm{周期が基本グラフの何倍かを確認}しておく. \\[1zh] \maru1の振幅も\maru2と同じく,\ 関数の拡大・縮小である. \\ \bunsuu{y}{A}=\sin \theta\ をy=\sin\theta\ と比較すると,\ y\ →\ \bunsuu{y}{A}\ としたことになる. \\ よって,\ 図形的には,\ \bm{y方向にA倍する}ことになるわけである. \\ 最も,\ \maru1の振幅に関しては,\ 最初から直感的にA倍だとわかるだろう. \\[1zh] 三角関数の3大要素をもとに,\ 素早く図示する. \\ そのために,\ まず\bm{周期と平行移動を考慮し,\ 1周期の基準となる2点をとる.} \\ 本問は,\ 周期4\pi,\ -\bunsuu23\pi\ 平行移動である. \\[.8zh] よって,\ \bm{基本グラフの原点は,\ \left(-\bunsuu23\pi,\ 0\right)にうつる.} \\[.8zh] さらに,\ 周期4\pi\ より,\ \bm{\theta=-\bunsuu23\pi\ から始まった1周期は\ \theta=\bunsuu{10}{3}\pi\ で終わる.} \\[.8zh] ゆえに,\ グラフの図示で,\ \theta=-\bunsuu23\pi,\ \bunsuu{10}{3}\pi\ が最も重要な目安となるのである. \\ ある程度の正確さを期すには,\ \pi\kinzi3\ と考え,\ \theta\kinzi-2,\ 10\ にとるとよい. \\[1zh] 更なる目安として,\ 半周期にあたる点と\bunsuu14周期にあたる点もとる.\ \bunsuu{13}{3}\pi\ はおまけ. \\ 1周期4\pi\ より,\ 半周期となる点は,\ -\bunsuu23\pi+2\pi=\bunsuu43\pi\ などとしてわかる. \\ \bunsuu14周期の点では,\ y座標が\pm2となることにも注意して点をとる. \\[1.5zh] 場合によっては,\ \bm{y切片の値}が必要になる. \theta=0\ を代入し,\