三角方程式の解の個数(置換型)

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aを定数,\ 0≦θ≦76π\ とするとき,\ 方程式\ \cos^2θ+\sinθ+a=0\ の解の個数を求めよ.${三角方程式の解の個数(置換型) とりあえず,\ \sin^2θ+\cos^2θ=1\ を用いて関数を統一}し,\ 置換する. 文字を置換したときは,\ 置換後の文字のとりうる値の範囲を確認する}必要がある. 単位円より,\ 0≦θ≦76π\ のとき\,-12≦ \sinθ≦1\ である.  後は$1-t^2+t+a=0$の解の個数を求めればよさそうに思えるが,\ そう単純ではない.  求めるべきは,\ $θ}$\ の個数であり,\ $t}$の個数ではないからである.  厄介なのは,\ $θ}$\,の個数と$t}$の個数が1対1で対応しない点である.  まず $t$の個数を求め,\ その後$θ$の個数に変換して答えることになる.   実際に$tと\ θ\ の個数の対応を調べよう.\ 単位円を用いて考える.$   $\sinθ$は単位円周上の点の$y$座標なので,\ 縦軸が$t$の扱いになる. 1個の$t}$の値に対応する$θ}$の個数は以下のようになる.   $\sinθ=t=-14}\ のとき 対応する\ θ\ は約195°\ の1個である.$   同様に $t=12}\ のとき 対応する\ θ\ は30°\ と150°\ の2個である.$   さらに $t=1}\ \ .2zw}のとき 対応する\ θ\ は90°\ の1個である.$ \\ 値に対応する\ θ\ の個数が以下となることがわかる.$  以下のように,\ $y=\sinθ$のグラフを用いて考えることもできる. \   この方程式の解の個数は,\ 次の2つのグラフの交点の個数と一致する. tと\,θ\,の個数の対応がわかっていれば,\ tの個数を数えればよい. よって,\ tの2次方程式の解の個数問題}に帰着する. もしtに範囲がなければ,\ 2次方程式の解の個数なので判別式が正か0か負かを考えるだけである. しかし,\ 本問では-12≦ t≦1\,の範囲にある解の個数}を数える必要がある. しかも,\ 解の値次第でtと\,θ\,の個数の対応が変化する. 結局,\ 数式だけで考えるのは難しく,\ グラフを用いて図形的に考えることになる. 定数aの分離が可能な型}なので,\ 実数解の個数はグラフの共有点としてとらえられる.} 上の図では,\ 次のように色分けしてわかりやすくしている. y=aを動かしながらtの個数を数えるのと同時に\,θ\,の個数に変換}し,\ 場合分けをして答える.