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スマホでみるときは横にしましょう。


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\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ を用いて,\ \bm{関数を統一}する. \\ tに置換し,\ そのとりうる値の範囲を求める. \\  後は「$1-t^2+t+a=0$\ の解の個数を数えるだけ」と考えるのは安易である. \\  \textbf{\textcolor{purple}{求めるべきは,\ $\bm{\theta}$\ の個数であり,\ $\bm{t}$の個数ではない.}} \\  よって,\ $t$の個数を求めた後,\ $\theta$\ の個数に変換することになる. \\  ゆえに,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{t}$\ 1個につき,\ $\bm{\theta}$\ が何個になるのかを確認しておく}}必要がある. \\\\  三角関数の解の個数問題で最も厄介なのはこの部分である. \\  \textbf{\textcolor{red}{置換前の\ $\bm{\theta}$\ の個数と置換後の$\bm{t}$の個数が1対1対応とは限らない}}のだ. \\\\  実際に,\ $\bm{\textcolor{blue}{tと\ \theta\ の個数の対応}}を調べよう.\ もう一度,\ 単位円で考える.$ \\  $\sin\theta$\ は単位円の$y座標$であり,\ 今回$\sin\theta=t$としたので,\ 縦軸は$t$である. \\\\  \textbf{\textcolor{red}{1つの$\bm{t}$の値に対応する$\bm{\theta}$の個数を,\ 単位円から読み取る.}} \\  このとき,\ $\bm{\textcolor{red}{0\leqq\theta\leqq\bunsuu76\pi}}$という範囲があることに注意する. \\  いくつかの$t$の値の例を挙げると次のようになっている. \\\\  $y=\sin\theta=\textcolor{blue}{t=-\bunsuu14}\ のとき 対応する\ \theta\ は,\ 約195\Deg\ の1個である.$ \\[.2zh]    同様に $\textcolor{blue}{t=\bunsuu12}\ のとき 対応する\ \theta\ は,\ 30\Deg\ と150\Deg\ の2個である.$ \\[.2zh]    さらに $\textcolor{blue}{t=1}\ \ \hspace{.2zw}のとき 対応する\ \theta\ は,\ 90\Deg\ の1個である.$ \\\\  このように考えると,\ $\bm{\textcolor{blue}{t\left(-\bunsuu12\leqq t\leqq 1\right)の値に対応する\ \theta\ の個数}}は$ \\[.5zh] のとき \textcolor{green}{\theta\ は1個}  (\textcolor{blue}{1対1対応}) \\  \textcolor{magenta}{\theta\ は2個}  (\textcolor{blue}{1対2対応}) \\    のとき \textcolor{green}{\theta\ は1個}  (\textcolor{blue}{1対1対応})  以上を踏まえて,\ 本問を解く. \\\\  定数を分離すると   この方程式の解の個数は,\ 次の2つのグラフの交点の個数と一致する. \\[.5zh] tの個数と\ \theta\ の個数の対応がわかっていれば,\ tの個数を数えればよい. \\ つまり,\ \bm{tの2次方程式の解の個数問題}に帰着する. \\ tに範囲がなければ,\ 2次方程式の解の個数は判別式で直ちに求まる. \\ しかし,\ 本問の場合,\ \bm{-\bunsuu12\leqq t\leqq1\ の範囲にある解の個数}を数える必要がある. \\ しかも,\ 解の値次第で,\ tと\ \theta\ の個数の対応が変化する. \\ 結局,\ 数式のみで考えるのは難しく,\ 図形的に考えることになる. \\ \bm{定数aの分離が可能な型}であるから,\ \bm{グラフの交点としてとらえる}のがよい. \\[1zh] 図では,\ わかりやすくするため,\ 次のように色分けした. \\ tと\ \theta\ が,\ \textcolor{green}{1対1}対応の区間\緑の実線} \\ tと\ \theta\ が,\ \textcolor{magenta}{1対2}対応の区間\ピンクの実線} \end{array}} \\[1zh] tの個数は,\ aの値によって変化するから場合分けをすることになる. \\ そして,\ \bm{tの個数を数えるのと同時に,\ \theta\ の個数に変換}していく. \\[1zh] 結局,\ 次を考慮して答えればよい. \\ \textcolor{red}{y=a}が  \textcolor{green}{緑の部分}と交点を1個もつ & →\ \ \textcolor{blue}{\theta\ は1個} \\ \textcolor{red}{y=a}が\textcolor{magenta}{ピンクの部分}と交点を1個もつ & →\ \ \textcolor{blue}{\theta\ は2個}