double-angle-formula

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加法定理において\ \beta\ →\ \alpha\ }として導かれる. \\ いずれも加法定理さえ覚えておけば,\ 導くのは容易である. \\ しかし,\ \bm{超頻出公式}なので,\ いちいち加法定理から導いている場合ではない. \\ 公式として\bm{丸暗記必須}である.\ 普通に学習を進めていけば,\ 嫌でも覚えるだろう. \\ 特に,\ \bm{\cos2\alpha\ は,\ 3通りの表現を全て丸暗記}しておくべきである. \\[1zh] さらに,\ \maru2の\ \cos2\alpha\ の公式を,\ \sin^2\alpha,\ \cos^2\alpha\ について解くと\maru4が得られる. \\ \maru4の形で公式を適用することも多い. \\ \bm{三角関数の次数を2次から1次に下げる}ためである. \\ 場合によっては,\ 角を2倍にしてでも,\ 次数を低くする必要があるのである. \\ よって,\ \bm{素早く次数を下げるために,\ \maru4の形でも暗記}しておくことを推奨する. \\ また,\ 次に示すように,\ \maru4の形は実質半角の公式でもある. \bm{2倍角の公式[1]\maru4の\ \alpha\ を\ \bunsuu{\alpha}{2}\ として得られる.} \\ よって,\ [1]\maru4の形で暗記していれば,\ 半角の公式はほぼ暗記する必要はない. \\ また,\ \bm{半角の公式よりも,\ [1]\maru4の形で使うことの方が圧倒的に多い.} \\ それゆえ,\ [1]\maru4の形で2倍角の公式を暗記することを推奨するわけである. \\ 半角の公式は,\ いずれも\bm{2乗がつくことを忘れやすい}ので要注意である. \\[1zh] おまけ程度だが,\ 半角の公式は次のような使い方もあることを知っておこう. \\ \bm{\ruizyoukon{1-\cos\alpha},\ \ \ruizyoukon{1+\cos\alpha}\ の根号をはずす}ことができる. \\[.5zh] 67.5\Deg\times2=135\Deg}\ に着目し,\ 半角の公式を適用する. \\ \phantom{(1)}\ \bunsuu{\alpha}{2}=67.5\Deg\ と考えることになるから,\ \alpha=135\Deg\ である. \\ \phantom{(1)}\ このとき,\ \bm{一旦2乗する}必要があるので注意する. \\ \phantom{(1)}\ \bm{\cos67.5\Deg\ の正負を確認}した上で,\ 2乗をはずす.\ なお,\ 67.5\Deg=\bunsuu38\pi\ である. \\[1zh] (2)\ \bm{\bunsuu{\pi}{8}\times2=\bunsuu{\pi}{4}}\ に着目し,\ 半角の公式を適用する. \\ \phantom{(1)}\ 結果論だが,\ \bunsuu{\ruizyoukon2}{2}\ よりも\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\ とするほうが楽である. \\ \phantom{(1)}\ \bm{有理化}するとき,\ 分子を2乗をすることになるが,\ これを\bm{展開しない}でおく.\\ \phantom{(1)}\ なお,\ \bunsuu{\pi}{8}=22.5\Deg\ である. \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 角の範囲に注意しながら\ \cos\theta\ の値を求めれば,\ 後は公式に代入するだけである. \\ \cos2\theta\ は3通りの表現を使えるが,\ 問題で与えられた値を使うのが最も安全である. \\ また,\ \tan2\theta\ だけを求めたいならば,\ 別解のように計算することになる. 半角の公式を用いているために,\ 一旦2乗を考える. \\ 2乗をはずすために,\ \bm{\theta\ の範囲から\ \bunsuu{\theta}{2}\ の範囲を求める}必要がある. \\ \tan\bunsuu{\theta}{2}\ だけを求めたい場合,\ 別解のように計算する.