三角関数の2倍角の公式・半角の公式の証明と応用

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証明は容易で,\ 加法定理において\ β\ →\ α\ }とするだけである. 利用機会が極めて多い}ので,\ 毎回加法定理から導くというのは推奨されない. 問題演習する中で自然に覚えてしまうのが理想だが,\ それが無理ならば丸暗記したほうがよい. 特に,\ \cos2α\,の公式は,\ 3通りの表現を全て丸暗記}しておくべきである. 丸暗記とはいっても,\ 導き方を理解した上での暗記}であることに注意してほしい. \\ ④の形で2倍角の公式を利用することも少なくない. ④により,\ 三角関数の次数を2次から1次に下げる}ことができる. 場合によっては,\ 角を2倍にしてでも次数を低くする必要があるのである. 素早く次数を下げるために,\ ④の形でも暗記}しておくことが望ましい. また,\ 以下で示すように,\ ④は実質半角の公式でもある. [1]\ 2倍角の公式④において,\ α\ →\ α}{2}\ と変換すると得られる.} よって,\ [1]\,④の形で暗記していれば,\ 半角の公式はほぼ暗記する必要はない. また,\ 半角の公式よりも[1]\,④の形で利用することの方が多い.} それゆえ,\ [1]\,④の形でも暗記しておくことを推奨したわけである. 半角の公式は,\ いずれも2乗がつくことを忘れやすい}ので要注意である. 半角の公式の応用として,\ √{1-\cosα},\ \ √{1+\cosα}\ の根号をはずす}ことができる. (1)\ \ 2倍すると綺麗な角になる場合,\ 半角の公式を利用して三角関数の値を求めることができる. \ \ 67.5°×2=135°}\,に着目し,\ \cos^2α}{2}=1+\cosα}{2}\,を適用する. \ \ α}{2}=67.5°\,と考えることになるから,\ α=135°\,である. \ \ このとき,\ 一旦2乗する}必要がある.\ \cos67.5°\,の正負を確認}した上で2乗をはずす.\ \ \ 67.5°\,は第1象限の角であるから,\ その\,\cos\,は正である.\ なお,\ 67.5°=38π\ である. \ \ \cos^2α=1+\cos2α}{2}\,において\,α=67.5°\,とすると考えてもよい. (2)\ \ π}{8}×2=π}{4\ に着目し,\ \tan^2α}{2}=1-\cosα}{1+\cosα}\,を適用する. \ \ 有理化}するとき分子を2乗をすることになるが,\ これを展開する必要はない. \ \ 安易に√{(√2-1)^2}=√2-1\,としてはならないことに注意する. \ \ 一般に,\ √{A^2}= Aであるから,\ √{(√2-1)^2}=√2-1}\,である. \ \ Aは,\ A≧0のときA,\ A≦0のとき-Aとなるのであった.\ \ なお,\ π}{8}=22.5°\ である. 角の範囲に注意して\ \cosθ\ の値を求めると,\ 後は2倍角の公式に代入するだけである. \cos2θ\ は3通りの表現があるが,\ 問題で与えられた\,\sinθ\,で求まるものを利用するのが安全である. \cosθ\,の値が万が一間違っていると,\ \cos2θ\,の値も間違えてしまうからである. \tan2θ\ だけを求めたいならば,\ 別解のように計算することになる. \cos2θ\,を\,\sin^22θ+\cos^22θ=1\,を利用して\,\sin2θ\,から求めることも可能だが推奨されない. 2乗の計算が面倒になるだけでなく,\ 2乗をはずすときに正負の判断をより慎重に行う必要が生じる. 実際に求めてみよう より厳しく角の範囲を限定しなければ,\ \cos2θ\,の正負を判断することができない. より\,\cos2θであるから,\ \cos2θ=7}{25}\,となる.一旦2乗して半角の公式を利用する. 2乗をはずすとき,\ θ}{2}\,の範囲を求めて正負を判断する}必要がある. \tanθ}{2}\,のみを求めればよい場合,\ 別解のように計算する.