cubic-equation-solution1

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定数kの値の範囲を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ \alpha,\ \beta,\ \gamma\ の値の範囲を求めよ.$ \\  $y’=0\ とすると x=-1,\ 2  よって,\ 増減表とグラフは以下となる.$ \\  (1)\ $2x^3-3x^2-12x+k=0の実数解の個数は$ \\ }2つのグラフ$\begin{cases} \end{cases}の共有点の個数に等しい.$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}よって,\ グラフより,\ 異なる3つの実数解をもつような$k$の値の範囲は \\[.5zh] 2次方程式ならば,\ 解の個数は判別式で容易にわかる. \\ しかし,\ 3次方程式の場合,\ \bm{グラフを用いて図形的に考える}ことになる. \\ \bm{方程式の解の個数は,\ 図形的には共有点の個数}である. \\ 本問のように,\ \bm{定数が完全に分離できれば,\ 3次関数と直線の共有点に帰着}する. \\[1zh] 普通に分離すると,\ 2x^3-3x^2-12x=-k\ となる. \\ このままでは,\ 直線\ y=-k\ を考えることになり,\ 正負がまぎらわしい. \\ よって,\ 完全にkのみを分離するべきである. \\[1zh] \bm{y=kはx軸に平行な直線}である. \\ これを変化させ,\ 3次関数と3つの共有点をもつようにkの値の範囲を定める. \\[1zh] ちなみに,\ k=-7,\ 20のとき2個,\ のとき1個もわかる. \textcolor{cyan}{水色の部分}との交点のx座標が\ 3つの共有点をもつように直線\ y=k\ を変化させ,\ それぞれの解の範囲を考える. \\ そのために,\ \bm{y=kが極値を通るときの他の交点のx座標}を求める必要がある. \\ -2x^3+3x^2+12x=-7,\ 20\ を因数定理を用いて解くのは愚の骨頂である. \\ このような応用問題では,\ 座標の求め方までを丁寧に記述する必要はない. \\ 裏技でも何でも用いて素早く値だけを求めよう. \\[1zh] 先の項目で述べた\bm{「接する\Longleftrightarrow 重解」と「解と係数の関係」}を用いる解法が速い. \\ y=kが(-1,\ -7)を通るとき,\ x=-1を重解にもつ. \\ よって,\ 3解は-1,\ -1,\ \alpha\ とおける. \\ 解と係数の関係より 同様に,\ (2,\ 20)を通るとき