sinθとcosθ、tanθと1/tanθの対称式・交代式の値

symmetrical-expression
何となく2乗すればよいという認識しかもっていない人が多い.  対称式・交代式という観点からその意義をおさえておこう.  通常の対称式は,\ 基本対称式$x+y$と$xy$で表すのが基本であった.  一方,\ $sinθ,\ cosθ\ には,\ 常に\ {sin²θ+cos²θ=1の関係も存在する.$  よって,\ 和\ ${sinθ+cosθ}$\ と積\ ${sinθcosθ}\ $の一方から他方が求まる.  このとき,和を2乗することで,\ 和と積が結びつく.  結局,\ $sinθとcosθ\ の対称式・交代式は,\ {和と積の一方の値だけで求まる.$ 両辺を2乗}すると$    あらかじめ和\ sinθ+cosθ\ を2乗して,\ 積\ sinθcosθ\ の値を求めておく. 本解は,\ 対称式の基本変形\ {x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)}\ を用いている. しかし,\ sinθ\ と\ cosθ\ の対称式では,\ 因数分解する方針が楽である(別解). sin²θ+cos²θ=1\ が利用できるからである. 因数分解公式 {x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)} 後で\ sinθ-cosθ\ の値が必要になるので,\ 最初に求めておく. 交代式は,\ {2乗すると対称式}となることを利用する. 正と負の2つの値が求まることに注意する. また,\ 交代式は,\ {差をくくり出すと残りは対称式}であることも利用する. 実質,\ 因数分解公式\ {x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)}\ を用いることになる. 対称式の基本変形に習い,\ {x³-y³=(x-y)³+3xy(x-y)}\ を用いてもよい. {tanθ\ と\ {1}{tanθ}\ の対称式}\ である. xと\ 1x\ の対称式の基本変形と同様にして,\ tanθ+{1}{tanθ}\ のみで表せる.  (複合同順)}$} 和と積から元の値を求めるとき,\ {対称性を崩さずに求める}のが基本である. そのためには,\ {和と積をなす2数を解にもつ2次方程式を作成して解けばよい.} x=α,\ β\ を解にもつ2次方程式の1つは (x-α)(x-β)=0 展開すると  を解にもつ2次方程式を作成できるのである.
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