連立方程式\
\sin x+\cos y=1
\cos x+\sin y=√3
{連立三角方程式}
本解が標準解法であり,\ \sin^2x+\cos^2x=1,\ \ \sin^2y+\cos^2y=1}も含めて連立する.
変数はx,\ yの2つだが,\ \sin x,\ \cos x,\ \sin y,\ \cos yの4変数の連立方程式}と考えて解くのである.
文字4つに対して式4つであるから,\ すべて特定できるはずである.
紛らわしいならば,\ 一旦\,\sin x=A,\ \ \cos x=B,\ \ \sin y=C,\ \ \cos y=D\,とおいて考えればよい.
A+D=1,\ \ B+C=√3,\ \ A^2+B^2=1,\ \ C^2+D^2=1}
D=1-A,\ C=√3-BをC^2+D^2=1に代入すると (3-2√3+B^2)+(1-2A+A^2)=1
A^2+B^2=1\ を適用して整理すると A+√3 B=2
これをさらにA^2+B^2=1と連立するとA,\ Bが求まる.
一方だけでは解が2つ求まるので,\ \sin と\cos の値を両方求めた後でx,\ yの値を求める.}
以降,\ 三角関数の合成を利用\
①の左辺がa\sinθ+b\cosθ\,の形なので,\ 合成することが可能である.
すると,\ ①のみでxの値を求めることができる.
角x+π}{3}\,の範囲を確認し,\ その範囲内で\sin が1になる角を考えればよい.
加法定理の逆を利用\,]
与式の両辺をそれぞれ2乗すると
$\sin^2x+2\sin x\cos y+\cos^2y=1, \cos^2x+2\cos x\sin y+\sin^2y=3$
2式を足すと $2(\sin x\cos y+\cos x\sin y)=2$\ より $\sin(x+y)=1}$
2乗して足した後,\ \sin^2x+\cos^2x=1,\ \sin^2y+\cos^2y=1を適用する.
すると,\ 加法定理\,\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ\,の形が現れるので逆にまとめる.
角x+yの範囲に注意して解いた後,\ y=π}{2}-x,\ 52π-x\,として1文字消去する.
\cos y=\cos-.2zw}π}{2}-x=\sin x, \sin y=\sin-.2zw}π}{2}-x=\cos x (余角の公式)
また,\ 52π-x=2π+π}{2}-xである.
\cos(2π+θ)=\cosθ,\ \sin(2π+θ)=\sinθ\,なので,\ y=52π-x\,のときも結局同じになる.
