高校範囲の微分には2つの大きな目的がある.\ 1つは「接線の傾きを求める」である.
もう一つは「関数のグラフを描く」であり,\ こちらの方が重要度が高い.
最大・最小は勿論,\ 方程式の実数解の個数や不等式の証明など様々な問題へ応用できる.
本項では,\ グラフを描くときの基本的な手順を学習する.
関数の増減について,\ 以下が成り立つのであった.
$区間Iで微分可能な関数f(x)について$
①\ \ $ある区間Iで常にf'(x)>0}\ \,⇒\,\ f(x)は区間Iで単調に増加}する.}$
②\ \ $ある区間Iで常にf'(x)<0}\ \,⇒\,\ f(x)は区間Iで単調に減少}する.}$
結局,\ グラフを描くには$f'(x)$の正負を調べればよく,\ 増減表を作成することになる.}$y=3x^4-16x^3+24x^2-8\ (x≧-1)$\ の増減を調べ,\ グラフを描け.
また,\ 極値があれば求めよ. \\
}{y'$を求め,\ $y'=0$となるような実数$x$の値を求める.
\ \ この$x$の値を境にして$y'$の符号が変わる\.{可}\.{能}\.{性}\.{が}\.{あ}\.{る}.x,\ y',\ yの3段の表を作り,\ 上の行から埋めていく.$
$ [1]$}\ \ $xの行には,\ y'=0のときと区間の端のxの値を書く.\ その間には\,･･･\,を書く.$
$ [1]$}\ \ さらに,\ $y'=0のときのxの下のy'\,の行に0を書く.$
$[3]$\ \ $y'\,の正負を調べ,\ y'\,の行に書く.$
$ [1]$}\ \ ほとんどの場合,\ 最も正負が判断しやすいのは因数分解した形}である.
$ [1]$}\ \ よって,\ 本問の場合は$y'=12x(x-2)^2}$で正負を考える.
$ [1]$}\ \ 常に$12(x-2)^2≧0$より y'の行に+と-を書く.\ 本問の場合,\ x>0の範囲に\,+,\ x<0の範囲に-を書く.$
$ [1]$}\ \ 区間の端は微分不可能なので,\ 空欄にしておくか斜線を書く.
$ [1]$}\ \ 不等式を解くのが難しい場合,\ 各区間内の簡単な$x}$の値を代入し,\ $y'$の正負を考える.
$ [1]$}\ \ $0
