a^x=t\ (t>0)と置換する型}の最大・最小問題であり,\ 同種の問題を指数関数分野でも取り上げた.
ただし,\ 本問の場合は3次関数に帰着するので微分の出番となる. 8^x=(2^3)^x=(2^x)^3=t^3
一般に,\ 置換したときは置換後の文字の範囲に注意する}必要がある.
範囲で最大・最小を考えることになる.
最大・最小をとるときのxの値は,\ 問題で指定されない限り必ず答える必要があるわけではない.
しかし,\ 検算効果もあるので可能ならば求めておくことを推奨する.
対数の定義}{相加平均と相乗平均の関係
a^x\,とa^{-x}\,の対称式は,\ a^x+a^{-x}=t\,と置換する}のであった.
さらに,\ tの範囲を求めるとき,\ 相加平均と相乗平均の関係}を用いるのであった.
a>0,\ b>0のとき a+b≧2√{ab} (a=bのとき等号成立)
相加相乗を利用するとき,\ 前提条件2^x>0,\ 2^{-x}>0の確認を忘れないように注意する.
t≧2となるが,\ これだけではtが2以上のすべての値をとるとはいえないのであった.
仮に実際にtのとりうる値の範囲がt≧3であっても,\ それはt≧2である.
t=2となるような実数xが存在してはじめて,\ tが2以上のすべての値をとるといえる.
結局,\ 等号成立条件を確認する}ことになる
