3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が,\ $x=-\,1で極大値6,\ x=1で極小値をとる.$
このとき,\ 定数$a,\ b,\ c$の値と極小値を求めよ. \\
3次関数の極値から係数決定 \\
本問のキーポイントが以下であ{f(x)がx=aで極値をとるm{f'(a)=0$
とかく注意すべきは,\ これの逆は成り立たないことであった.
つまり,\{f'(a)=0}$だからといって,\ $x=a}$で極値をとるとは限らない.
代表例が$y=x^3\,$である.\ $y’=3x^2\,よりx=0のときy’=0だが,\ x=0で極値はとらない.$
結局,\ $f'(a)=0\ は極値をとるための必要条件にすぎない.$
よって,\ $x=aで極値をとる\ ⇒\ f'(a)=0$とした場合,\ 十分性を確認する必要が生じる.
十分性の確認は,\増減表を作成するのが手っ取り早く確実である増減表}より,\ 確かに\ $x=-\,1で極大,\ x=1で極小をとる.$
∴ a=0,\ \ b=-\,3,\ \ c=4 極小値\ 2}$}
「\,x=-\,1で極大値6\,」からは,\ 2つの条件\ f(-\,1)=6,\ \ f'(-\,1)=0\ が導かれる.
「\,x=1で極小値\,」からは,\ f'(1)=0\ が導かれる.
未知数3つに対して式3つとなるから,\ これらを連立して解けばa,\ b,\ cが特定される.
f'(x)=0の2解がx=±\,1より,\ 以下の解と係数の関係}を用いてa,\ bを求めることもできる.
ax^2+bx+c=0の2解を\,α,\ β\,とすると α+β=- ba,\ \ αβ= ca
解と係数の関係より\
a,\ b,\ cの値が求まったところで解答を終えてしまうと大幅な減点は避けられない.
x=aで極値をとる\ ⇒\ f'(a)=0\ を用いたので,\ 十分性(本当に極値をとるか)の確認}がいる.
本問の場合は極値をとるか否かだけでなく,\ 極大か極小かまで含めての確認}がいる.
x=aで極大でも極小でも同じ条件f'(a)=0が出てきてしまう.
よって,\ f'(a)=0としただけでは極大とも極小ともいえないからである.
{x=aを境に}\
f'(x)の符号が\dot{正}から\dot{負}\ (f(x)が増加から減少)に変わるとき f(a)は\ 極\dot{大}値
f'(x)の符号が\dot{負}から\dot{正}\ (f(x)が減少から増加)に変わるとき f(a)は\ 極\dot{小}値 実際には,\ 増減表さえ作成してしまえばすべて確認できる.
元のf(x)に求まったa,\ b,\ cを代入し,\ 増減表を作成する.
下線部のように,\ 十分性が確認できたことをアピールしておくとよい.
