3次方程式の解の個数②:非定数分離型

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定数分離すると\ ${x³}{3x²-4}=a$\ となり,\ 数IIIの微分が必要になる.  数IIの範囲で求めるために,\ 極値の積で場合を分ける方法を習得しよう.  まず,\ そもそも極値をもつか否かの確認が必要である.  これは,\ $f'(x)=0について,\ 判別式D>0かD0で場合分けされる.$  3次関数は,\ 極値をもたない場合(${D0}$),\ 単調増加(減少)する.  よって,\ このとき,\ 実数解(${x}$軸との共有点)は1個である.  以下,\ 極値をもつ場合(${f'(x)=0のD>0}$)を考える.  ${x}$軸との共有点が1個・2個・3個となるときのグラフが次である. 実数解が1個になる条件を考える.  このとき,\ 図形的には{1}の2パターンが考えられる.  この2パターンをどういう条件で表現するかがポイントになる.  本問は,\ $f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)\ より,\ x=0,\ 2aで極値をとる.$  $0と2aの大小関係により,\ どちらで極大・極小をとるかが変わる.$  よって,\ ${0と2aの大小の場合分けが必要になり,\ この表現は面倒である.$  他の表現は,\ 極大値と極小値の\ 両方が正\ または\ 両方が負\ である.  ここで,\ 次の同値関係を利用する.  結局,\ 実数解が1個となる条件1は, のみで表される.$  実数解が2個となる条件2は,\ 極大値か極小値の一方が0である.  つまり,\ ${f(0)f(2a)=0$\ である.  実数解が3個となる条件3は,\ 0.98}{${f(0)とf(2a)の一方が正で他方が負である.$}  結局,\ 3次方程式の実数解の個数は,\ 次のように簡潔に分類される.  $f'(x)=0の判別式をD,\ 2つの実数解を\ α,\ β\ (大小は不明)とすると$  $f(x)=x³-3ax²+4a\ とおくと f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)}$  $\ a=0}のとき,\ f'(x)=3x²0\ より,\ f(x)は単調増加する.$  {$$}\ よって,\ このとき,\ $f(x)=0の実数解は1個}である.$ [. まず,\ 実数解が1個になる\ D0\ の場合を考える. f'(x)が因数分解できるなら,\ D0ではなく,\ 2個の解が一致する条件を考える. 本問は,\ 0=2aより,\ a=0のとき2つの異なる実数解をもたない. 実際には,\ 常に\ f'(x)0\ を示し,\ 単調増加することを記述しておく. x=0,\ 2aで極値}をとる.$  { $[0と2aの大小関係は不明}]$}     $a0}より -a²+1=0    よって a=1$     このとき,\ $f(x)=0$の実数解は2個}である.     このとき,\ $f(x)=0$の実数解は3個}である. a0\ のとき,\ 常に\ 16a²>0\ であるから,\ 両辺を16a²で割ることができる. よって,\ いずれも2次方程式・不等式に帰着する.
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