半径1の球に直円錐が内接している.
(1)\ \ 円錐の体積$V$の最大値を求めよ.
(2)\ \ 円錐の側面積$S$の最大値を求めよ. \\
球に内接する直円錐の体積・側面積の最大値
(1)\ \ 円錐の高さを$h$とすると 底面の円の半径の2乗は
図形問題では,\ 問題で設定されていなければ,\ 自分で文字を設定して立式する必要がある.
球に内接する円錐の体積を考えるとき,\ 円錐の高さを文字でおく}のが正解である.
円錐の体積の場合,\ 底面の円の半径をrとおいて立式するのが自然に思える.
しかし,\ 実際に計算してみると,\ OH=√{BO^2-BH^2}=√{1-r^2}\ より,\ AH=1+√{1-r^2\ となる.
すると,\ 円錐の体積が\ 13π r^2(1+√{1-r^2}\,)\ という扱いづらい関数になってしまう.
高さを文字でおいて立式すると,\ 体積は3次関数となるので数II}の範囲で容易に最大を求められる.
また,\ 図形問題では常に設定した文字の範囲を確認する}必要がある.
高さhは球の直径よりも短いから,\である.
OH}=h-1なので,\ 三平方の定理より BH^2=OB^2-OH^2=1^2-(h-1)^2=2h-h^2}
円錐の体積は,\ (底面積)×(高さ)×13}\,である.
底面積を求めるときに半径はどうせ2乗するので,\ √{2h-h^2}とする必要はない.
直円錐の側面積の公式は,\ π×(底面の円の半径)×(母線の長さ)}\ である.
三平方の定理より,\ 母線の長さは AB=√{AH^2+BH^2}=√{h^2+(2h-h^2)}=√{2h
側面積Sが√{ }の形になるので,\ このままの形で最大を求めることはできない.
中身の最大が√{ }の最大であるから,\ 中身の3次関数を取り出して最大を求めればよい.}
sの最大値\,64}{27}\,より,\ Sの最大値は\
直円錐の側面積の公式の導出を確認しておく.
展開図において,\ (扇形の弧長)=(円周の長さ)より
2π r=ℓθ よって θ=2π r}{ℓ}
(円錐の側面積)=(扇形の面積)
