関数$y=f(x)$で,\ $f(b)-f(a)}{b-a}$を$x$が$a$から$b$まで変化するときの平均変化率という.
平均変化率は,\ 2点A$(a,\ f(a))$,\ B$(b,\ f(b))$を通る直線ABの傾きを表す.
$lim{b\to a}f(b)-f(a)}{b-a\ ･･････\,①$が極限値をもつとする.
この極限値を$x=a$における微分係数といい,\ $f'(a)$で表す.
①,\ ②が微分係数$f'(a)$の定義式である. 微分係数$f'(a)}$の図形的意味
$b↔ a$のとき,\ 図形的には点B$(b,\ f(b))$が点A$(a,\ f(a))$に限りなく近づく.
それに応じて,\ 直線ABは点Aを通り傾きが$f'(a)$である直線ATに限りなく近づく.}
この直線ATを$y=f(x)$における点Aの接線,\ 点Aをこの接線の接点という.
結局, 微分係数$f'(a)}$は点A$(a,\ f(a))}$における接線の傾きを表す.
平均変化率\,f(b)-f(a)}{b-a}\,は,\ 単に\,(yの増加量)}{(xの増加量)}=(直線の傾き)\,という中学レベルの話である.
b=a+hとすると,\ b↔ aはa+h↔ a,\ つまりh↔0である.
微分係数の定義式は2つの表現を両方覚えておく必要がある.
丸暗記ではなく平均変化率の極限であることや図形的意味を含めて覚える}と忘れないだろう.
点 Bが点 Aに近づくときの直線AB}の変化をイメージとしてもっておくことが重要である.
接線の傾きをf'(a)と定義したように見えるが,\ 実際には逆である.
f'(a)が存在するとき,\ それを傾きとする直線を接線と定義する}のである.
f(x)=2x^2-5x+4$とする.\ 微分係数の定義に基づき,\ $f'(1)$を求めよ. \\
いずれの定義式でも求まるが,\ 強いて言えばlim{h\to0}f(a+h)-f(a)}{h}\,を用いるのが一般的である.
微分係数の定義式は,\ そのままの形でh↔ 0やb↔ aとしただけでは\,00\,の不定形となる.
具体的な関数f(x)で計算し,\ 約分すると不定形が解消される.
微分係数$f'(a)$が存在するとき,\ 次の極限値を$a,\ f(a),\ f'(a)$を用いて表せ. \\微分係数の定義を利用する極限
普通は,\ f'(a)を求めるために\ lim{h\to0}f(a+h)-f(a)}{h}\ や\ lim{b\to a}f(b)-f(a)}{b-a}\ を計算する.
一方,\ これを逆に利用すると,\ 一部の極限をf'(a)で表すことができる.
(1)\ \ 2つの表現のうち明らかに\ lim{h\to0}f(a+h)-f(a)}{h}\ の方に近いので,\ これの利用を考える.
\ \ h↔0のとき3h↔0だからといって,\ lim{h\to0}f(a+3h)-f(a)}{h}=f'(a)としてはならない.
\ \ 定義式は,\ 実用上は\ lim{h\to0}f(a+○)-f(a)}{○}=f'(a)\ と認識しておく}必要がある.
\ \ ○の部分が等しくなるように無理矢理変形}して適用しなければならない.
\ \ このとき,\ f(x)はこれで1つのものなので,\ f(a+3h)の括弧内をいじることは困難である.
\ \ よって,\ いじりやすい分母を3hに合わせる.\ 後は3を掛けてつじつまを合わせればよい.
(2)\ \ 分子に-f(a)+f(a)\ (=0)を付け加える}ことにより,\ 定義式の形を無理矢理作り出す.
\ \ (1)と同様に○をそろえた後,\ lim{x\to a}\{kf(x)+lg(x)\}=klim{x\to a}f(x)+llim{x\to a}g(x)}\ を利用する.
\ \ 定数はlim{} の前に出せ,\ また,\ 和のlim{} はlim{} の和に分割できることを意味している.
\ \ 決して自明な性質ではないが,\ 数II}の範囲では細かいことは気にせず使えばよい.
(3)\ \ 定義式\ lim{b\to a}f(b)-f(a)}{b-a}\ の利用を考える.
\ \ 分子に-a^2f(a)+a^2f(a)を付け加える}ことにより,\ 定義式の形を無理矢理作り出す.
\ \ (2),\ (3)は経験が必要だろう.
