0≦θ≦π}{2}$のとき,\ \ $y=3\sin^2θ+2\sinθ\cosθ+\cos^2θ$の最大値と最小値を求めよ.
(2)\ \ $x^2+y^2=1$のとき,\ $x^2+2xy+3y^2$の最大値と最小値を求めよ. \三角関数の最大・最小④（2次同次式） \\
$yは,\ \sin と\cos の2次の項(\sin^2{θ},\ \sin{θ}\cos{θ},\ \cos^2{θ})のみの式である.$
このような式を$2次同次式という.$
2次同次式のポイントは,\ 以下の2段階を踏んで変数$θ$を1ヶ所に集めることである.
$[1]$\ \ 2倍角の公式を逆に使って次数を下げる.
$[2]$\ \ $a\sin{2θ}+b\cos{2θ$の形ができるから,\ 三角関数の合成で変数$θ}$を1カ所に集める}
次数下げと合成により,\ \sin の最大・最小問題に帰着}する.
角2θ-π}{4}\,の範囲を確認した上で,\ \sin-.2zw}2θ-π}{4}のとりうる値の範囲を考えればよい.
x^2+y^2=1は円の方程式である.\ また,\ x^2+2xy+3y^2\,はx,\ yの2次同次式である.
条件が円の2次同次式の最大・最小問題では,\ x=\cosθ,\ y=\sinθ\,の置換が有効である.}
以前,\ (\cosθ,\ \sinθ)を単位円周上の点(x,\ y)として三角方程式を解く方法を紹介した.
本項のパターンでは,\ 逆に単位円周上の点(x,\ y)を(\cosθ,\ \sinθ)とおく.}
すると,\ \sinθ\,と\,\cosθ\,の2次同次式の最大・最小問題に帰着する.}
三角関数の定義より,\ 条件がx^2+y^2=r^2\,ならば,\ (x,\ y)=(r\cosθ,\ r\sinθ)とおけるわけである.
本問は,\ 置換すると(1)と同じ式になるので,\ 略解のみ示した.
ただし,\ 角\,θ\,に範囲はないので,\ \sin-.2zw}2θ-π}{4}のとりうる値の範囲は-1から1まで}となる.
