不等式\ \cos(x-y)≦12\ \ (0≦ x≦π,\ 0≦ y≦π)\ の表す領域を図示せよ三角不等式の表す領域
求める領域は,\ 上図の斜線部分.\ 境界線を含む.}
普通に三角不等式を解いてx,\ yのみの不等式に変換}すれば,\ 後は単なる領域図示の問題である.
2変数があることは気にせず,\ \cosθ≦12\ と考えて解けばよい.
ただし,\ 角\,θ=x-yのとりうる値の範囲の確認}が必要である.
1変数の\,\cos(x-π)の場合には範囲を確認する人でも,\ 2変数になると確認し忘れることが多い.
x-yの範囲を求めるとき,\ 0≦ x≦π,\ 0≦ y≦π\,の各辺を引いて0≦ x-y≦ 0とする誤り}が多い
一般に,\ 2つの不等式の各辺を単純に引いて合体させることはできない.
x-yの最大値は,\ (xの最\dot{大})-(yの最\dot{大})ではなく,\ (xの最\dot{大})-(yの最\dot{小})だからである.
誤りを防ぐためには,\ x-y=x+(-\,y)と考えて和で合体させる}のがよい.
0≦ y≦π\ の各辺に-1を掛けると 0≧-\,y≧-\,π
これを-π≦ -\,y≦0として,\ 0≦ x≦π\ の各辺と足し合わせる.
後は,\ 角が-π\,から\,π\,までの範囲で,\ \cos が\,12\,以下になる範囲}を考えればよい.
角x-yの範囲が求まり,\ xy座標平面の領域図示の問題に帰着する.
境界線は直線なので,\ y=ax+bの形で表してから図示する.
領域を考えるとき,\ 問題の条件\ 0≦ x≦π,\ 0≦ y≦ π\ の考慮を忘れてはいけない.}
最初から,\ 図示すべき領域は1辺の長さが\,π\,の正方形の内部に限られていた}のである.
