異なる角が混在する場合,\ 2倍角・3倍角・半角の公式を用いて角を統一する.
すると,\ 基本的な方程式・不等式に帰着する.
\cos2θ\,の公式には3通りの表現があった.
この中で,\ 角と同時に関数も統一できる\sin のみの表現を利用する}ことになる.
2倍角の公式の適用により角を統一できるが,\ 関数まで統一することはできない.
方程式・不等式の基本通り因数分解すると,\ AB>0型の不等式}に帰着する.
(x-1)(x-2)のように同じ文字の場合にとなるのは今更言うまでもない.
しかし,\ (x-1)(y-2)のように文字が異なる場合,\ そう単純にはいかない.
この場合,\ 同値変形の根本に立ち戻って解く}必要がある.
つまり
後は,\ 単位円を用いて\,θ\,の満たす範囲を求める.
4つの不等式をそれぞれ解いた後でまとめるのではなく,\ 最初からまとめて考えれば済む.
つまり
y軸の右側
y=12\ の上側
-.5zw}または\
y軸の左側
y=12\ の下側
角を\,θ\,に統一しようにも,\ \cos^2θ}{2}=1+\cosθ}{2}\,のように半角の公式には2乗がついている.
そこで,\ 角を\,θ}{2}\,に統一}することを考える.
つまり,\ \cosθ=\cos-.2zw}2･θ}{2}と考えて,\ 2倍角の公式\cos2θ=2\cos^2θ-1を適用する.}
後は,\ \cosθ}{2}\ の2次方程式である.\ 常に-1≦\cosθ}{2}≦1\ より,\ 常に\cosθ}{2}-2<0\ である.
\cosθ}{2}-2≠0なので\cosθ}{2}-2で割ることができ,\ 2\cosθ}{2}-1=0となる.
\cosθ}{2}=12\,は,\ 角\,θ}{2}\,の範囲を確認し,\ その範囲内で解かなければならない}ことに注意する.
2倍角の公式で角を統一した後,\ 因数分解できることに気付けるかが問われる.
2項ずつ組み合わせることにより,\ 共通因数が現れる. 2\sinθ(2\cosθ+1)-(2\cosθ+1)=0
一般にAB+A+B+1=(A+1)(B+1)と因数分解できる知識を持っていると気付きやすい.
3倍角の公式と2倍角の公式を適用すると,\ \cosθ\,の3次方程式になる.
因数定理「\,P-.2zw} ba=0\ ⇔\ P(x)が(ax-b)を因数にもつ\,」を用いて因数分解する.
P(x)が有理数係数の範囲で因数分解できるならば,\ P(x)=0の解は以下に限られるのであった.
x=±定数項の約数}{最高次の項の係数の約数} 本問の場合,\ \cosθ=±1の約数}{4の約数}=±1}{1,\ 2,\ 4}
\cosθ=-12\,を代入すると0となることから,\ \cosθ+12\,を因数にもつとわかる.
後は,\ 残りの因数を組立除法などで求めればよい.
