△$ABCにおいて,\ 次の等式が成り立つことを証明せよ.
(1)\ \ $\sin2A+\sin2B+\sin2C=4\sin A\sin B\sin C$
(2)\ \ $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos A2\cos B2\cos C2$
(3)\ \ $\cos A+\cos B-\cos C=4\cos A2\cos B2\sin C2-1$三角形における三角関数の等式の証明 \\
有名な3つの等式の証明を示す.\ 同様の流れで証明できる.
大まかには,\ 2回和積の公式を適用して,\ 3つの和を3つの積にするという流れになる.
(1)\ \ $A+B+C=π}\ より C=π-(A+B)$
$\sin2A+\sin 2B+\sin 2C}$
$=\sin2A+\sin2B+\sin2\{π-(A+B)}\}$
$=\sin2A+\sin2B}+\sin\{2π-2(A+B)\$ $[\,\sin(2π-θ)=\sin(-\,θ)=-\,\sinθ\,}]$}
$=2\sin2A+2B}{2}\cos2A-2B}{2\,-\,\sin2(A+B)}$ $[\,2倍角の公式\ \sin2θ=2\sinθ\cosθ\,}]$}
$=2\sin(A+B)\cos(A-B)-2\sin(A+B)\cos(A+B)}$
$=2\sin(A+B)\{\cos(A-B)-\cos(A+B)}\}$
$=2\sin(A+B)-\,2\sin(A-B)+(A+B)}{2}\sin(A-B)-(A+B)}{2$
$=-\,4\,\sin(A+B)}\sin A\,\sin(-\,B)}$ \ $[\,負角の公式\ \sin(-\,θ)=-\,\sinθ\,}]$}
$=-\,4\,\sin(π-C)}\sin A(-\sin B})$ \ \,$[\,補角の公式\ \sin(π-θ)=\sinθ\,}]$}
$=4\,\sin C}\sin A\sin B=4\sin A\sin B\sin C}$ \\
実際に解答するには,\ 三角関数の各種公式に対する相当な習熟が必要である.
上の解答において,\ 各式変形をどのような意図で行っているかをよく確認しておいてほしい.
△ABC}という条件は,\ 3つの内角の和が180°}という数式条件に変換できる.
等式条件が1つあるとき,\ 1文字消去する}のが基本であった.\ ここでは,\ Cを消去した.
負角の公式を利用すると,\ 結局\,\sin2C=-\,\sin2(A+B)\,となる.
2変数になったので,\ 和→積の公式を用いて積の形にまとめていく.
まず,\ \sin2A+\sin2Bに公式\ \sin A+\sin B=2\sinA+B}{2}\cosA-B}{2\ を適用する.
さらに,\ \sin2(A+B)に2倍角の公式を適用して共通因数を作り出す.}
共通因数をくくりだした後,\ 公式\ \cos A-\cos B=-\,2\sinA+B}{2}\sinA-B}{2\ を適用する.
4\sin A\sin Bができるので,\ 右辺と見比べると後は\,\sin(A+B)\,を\,\sin Cに変換すればよい.
A+B+C=π\,を\,A+B=π-C}\,として代入し,\ 補角の公式を適用する.
A+B+C=π}\ より C=π-(A+B)$
$\sin A+\sin B+\sin C}$
$=\sin A+\sin B}+\sin\{π-(A+B)\$ $[\,補角の公式\ \sin(π-θ)=\sinθ}\,]$}
$=2\sinA+B}{2}\cosA-B}{2+\sin(A+B)}$ $[\,2倍角の公式\ \sin2θ=2\sinθ\cosθ\,}]$}
$=2\sinA+B}{2}\cosA-B}{2}+2\sinA+B}{2}\cosA+B}{2$
$=2\sinA+B}{2}\cosA-B}{2}+\cosA+B}{2$
$=2\sinA+B}{2}･2\cosA-B}{2}+A+B}{2{2}\cosA-B}{2}-A+B}{2{2$
$=2\,\sinA+B}{2･2\cos A2\,\cos-.2zw}- B2}$ $[\,負角の公式\ \cos(-\,θ)=\cosθ\,}]$}
$=4\,\sinπ-C}{2\cos A2\,\cos B2}$
$=4\,\sin-.2zw}π}{2}- C2}\cos A2\cos B2$ \ \ $\left[\,余角の公式\ \sin-.2zw}π}{2}-θ=\cosθ}\,\right]$}
$=4\,\cos C2}\cos A2\cos B2=4\cos A2\cos B2\cos C2}$
$\left[l}
(1)と同じだが,\ \sin(A+B)=\sin-.2zw}2･A+B}{2}とみなして2倍角の公式を使う}点に注意する.
つまり \sin(A+B)=\sin-.2zw}2･A+B}{2}=2\sinA+B}{2}\cosA+B}{2}
\end{array\right]$ \\
(3)\ \ $A+B+C=π}\ より C=π-(A+B)$
(3)}\ \ $\cos A+\cos B-\cos C}$
$=\cos A+\cos B}\,-\,\cos\{π-(A+B)\$ $[\,補角の公式\ \cos(π-θ)=-\cosθ}\,]$}
$=2\cosA+B}{2}\cosA-B}{2+\cos(A+B)}$ $[\,2倍角の公式\ \cos2θ=2\cos^2θ-1\,}]$}
$=2\cosA+B}{2}\cosA-B}{2}+2\cos^2A+B}{2}-1}$
$=2\cosA+B}{2}\cosA-B}{2}+\cosA+B}{2-1$
$=2\cosA+B}{2}･2\cosA-B}{2}+A+B}{2{2}\cosA-B}{2}-A+B}{2{2-1$
$=2\,\cosA+B}{2･2\cos A2\,\cos-.2zw}- B2}-1$ {\normalsize $[\,負角の公式\ \cos(-\,θ)=\cosθ}\,]$}
$=4\,\cosπ-C}{2\cos A2\,\cos B2}-1$
$=4\,\cos-.2zw}π}{2}- C2}\cos A2\cos B2-1$ \ \ $\left[\,余角の公式\ \cos-.2zw}π}{2}-θ=\sinθ}\,\right]$}
$=4\,\sin C2}\cos A2\cos B2-1=4\cos A2\cos B2\sin C2-1}$
$\left[l}
(2)と同様,\ 無理矢理2倍角の公式を適用して共通因数を作り出す.
\cos(A+B)=\cos-.2zw}2･A+B}{2}=2\cos^2A+B}{2}-1}
