三角形ABCにおいて,\ 外接円の半径が1,\ $∠A}=π}{3}$であるとする.
(1)\ \ $AB+BC+CA}$のとりうる値の範囲を求めよ.
(2)\ \ $AB･ BC･ CA}$のとりうる値の範囲を求めよ. \\三角関数の三角形への応用② 3辺の長さの和と積}$}正弦定理より
三角形の外接円の半径ときたら正弦定理である.\ 長さの式を角についての式に変換}できる.
また,\ 三角形という条件は数式条件「A+B+C=π,,」に変換できる.
Aが既知でB+Cが求まるから,\ 三角関数の和→積の公式によりB+Cを作り出す.}
\cosB-C}{2}\,のとりうる値の範囲に帰着するので,\ 角\,B-C}{2}\,の範囲を考慮した上で求める. 2つの不等式を合体させるとき,\=”” 差ではなく和として合体させなければならない}のであった.=””=”” の各辺を足すと等号は,\=”” \cosb-c}{2}=”1より\,B-C}{2}=0,\” つまりb=”Cのとき成立する.” このときa=”B=C=π}{3}\,となるから,\” 結局正三角形のとき周長が最大}となる.$\sin=”” b+\sin=”” c$のとりうる値の範囲を求める部分}\,=”” 別解は,\=”” 等式条件の基本的な扱いである1文字消去}を利用するものである.=”” 加法定理で分解して整理するとa\sinθ+b\cosθ\,の形ができるので,\=”” 三角関数の合成}を行う.=”” \sin-.2zw}b+π}{6}のとりうる値の範囲に帰着する. =”” (1)とは逆に,\=”” 三角関数の積→和の公式によりb+cを作り出す.}=”” \cos(b-c)=”1よりB=Cのとき成立するから,\” 正三角形のとき最大}となる.=”” 1文字消去後に加法定理を適用して整理すると,\=”” \sin=”” bと\cos=”” bの2次同次式}となる.=”” \sin=”” と\cos=”” の2次同次式は,\=”” 2倍角の公式の逆で次数下げした後,\=”” 三角関数の合成を行う}のであった.=””=”” \cos2θ=”1-2\sin^2θ \sin2θ=2\sinθ\cosθ
