直方体の縦の長さ,\ 横の長さ,\ 高さをそれぞれ$x,\ y,\ z$とする.
縦の長さ,\ 横の長さ,\ 高さの和について
表面積について $2(xy+yz+zx)=72\ より xy+yz+zx=36}$
体積$xyz=V}$とすると,\ $x,\ y,\ zは\ t^3-12}\,t^2+36}\,t-V}=0\ の3つの実数解}である.$
$Vを分離して\ t^3-12t^2+36t=V\ とし,\ f(t)=t^3-12t^2+36t\ とおく.$
$t>0でy=f(t)とy=Vが2個以上の共有点をもつとき,\ 直方体が存在する.}$
∴ t=2\ (重解),\ 8\ のとき V=xyz\ の最大値\ 32}$
とりあえず文字を設定し,\ 問題の条件を数式で表す.
すると,\ 2つの条件x+y+z=12,\ xy+yz+zx=36のもとでxyzの最大を求める問題となる.
一般に,\ 等式1つにつき文字を1つ消去できる.}
本問は3変数であるが,\ 等式が2つあるので実質1変数関数である.
しかし,\ 等式がx,\ y,\ zの1次式ではないので通常の方法で2文字を消去するのは困難である.
x+y+z,\ xy+yz+zx,\ xyzが3変数基本対称式}なので,\ 対称性を生かす上手い解法がある.
わかりやすくするためにxyzをVとおき,\ 3解x,\ y,\ zをもつ3次方程式を作成}する.
3解x,\ y,\ zをもつ3次方程式の1つは (t-x)(t-y)(t-z)=0
展開すると t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0}
x+y+z,\ xy+yz+zx,\ xyzの値から逆にx,\ y,\ zを解にもつ方程式を作成できるわけである.
Vを分離すると,\ y=t^3-12t^2+36tとy=Vの共有点として図形的な考察が可能になる.}
この3次関数と直線の共有点のt座標が,\ 直方体の3辺の長さx,\ y,\ zである.
ここで,\ 3次方程式の解x,\ y,\ zは直方体の3辺の長さなので,\ 当然正でなければならない.
よって,\ y=f(t)\ (t>0)と2個以上の共有点をもつという条件の下でVを最大にすればよい.}
(接点)=(重解)より,\ 接点では2個の実数解をもつ扱いになることに注意してほしい.
Vを動かすと,\ 00の範囲で2個以上の共有点をもつ.}
以上から,\ V=32が最大値}であり,\ このとき直方体の3辺の長さはt=2,\ 2,\ 8}である.
t=2以外の解は,\ t^3-12t^2+36t=32,\ つまりt^3-12t^2+36t-32=0を解いて求められる.
(接点)=(重解)より,\ (t-2)^2\,を因数にもつことが確定している.
このことを利用すると,\ 容易に(t-2)^2(t-8)=0と因数分解できるのであった.
実数$x,\ y,\ zがx+y+z=2,\ x^2+y^2+z^2=2\ を満たすとき,\ x^3+y^3+z^3\ の最大$
値と最小値を求めよ. の2つの実数解}である.\ 判別式をDとする.$
本問も条件つき3変数対称式であるから,\ 前問と同様の解法で求めることもできる.
しかし,\ ここでは2変数対称式として扱う解法}を示した.
2変数に関してさえ対称ならば適用できるので,\ 前問で示した解法よりも適用範囲が広い.
yとzの対称式とみて,\ 基本対称式y+zとyzのみで表す.}
すると,\ y+zとyzをxのみの式で表すことができ,\ xの1変数関数に帰着させることができる.
一般に,\ 文字を消去するときは消去する文字の実数存在条件を残る文字に反映させる}必要がある.
2変数基本対称式y+z,\ yzの場合,\ y,\ zを解にもつ2次方程式を作成する}のであった.
y,\ zを解にもつ2次方程式は (t-y)(t-z)=0 つまり t^2-(y+z)t+yz=0
2解y,\ zが実数であるための条件は,\ 当然D≧0}である.
