2倍角・3倍角の公式}を用いて角と関数を統一}すると,\ \sin x\,の1変数関数となる.
\sin3x=-\,4\sin^3x+3\sin x, \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1
\cos2xは3通りの表現があるが,\ 関数の統一も兼ねて \sin xのみの表現のものを適用する.
三角関数分野でも同種の問題を取り上げたが,\ 本問は置換で3次関数になるので微分の出番となる.
一般に,\ 置換したときは置換後の文字の範囲に注意する}必要がある.
0≦ x≦π\,のとき,\ 0≦\sin x≦1である.
結局,\ 0≦ t≦1の範囲でy=-\,4t^3-8t^2+11t+4の最大・最小を求めることに帰着する.
2倍角の公式\,\sin2x=2\sin x\cos xを用いると,\ \sin xと\cos xの対称式}となる.
2変数x,\ yの対称式とは,\ xとyを入れ替えても変わらない式のことである.
\sin xと\cos xの対称式は,\ \sin x+\cos x=tと置換する}のであった.
さらに,\ 三角関数の合成}をして,\ tのとりうる値の範囲を求める.
x+π}{4}\,の範囲を確認したうえで,\ その \sin のとりうる値の範囲を考える必要がある.
2変数x,\ yの対称式は,\ 必ず基本対称式x+y,\ xyのみで表せるのであった.
\sin x+\cos x,\ \sin x\cos xのみで表すため,\ 公式x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)を利用する.
また,\ \sin xと\cos xの対称式は,\ 和\sin x+\cos xを2乗することで積\sin x\cos xと結びつく.}
結局,\ 1変数tの3次関数の最大・最小に帰着する.
