triangle-proof

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$\triangle$ABCにおいて,\ 次の等式が成り立つことを証明せよ. \\[1zh]  3問とも代表的な等式であり,\ 同様の流れで変形できる. \\  \textbf{\textcolor{red}{2回和積の公式を適用して,\ 3つの和を3つの積にする}}のが根幹である. \\\\ 実際に解答するには,\ 三角関数の各公式に対する相当な慣れと演習が必要である. \\[1zh] \triangle\mathRM{ABC}という条件は,\ \bm{3角の和が180\Deg} という条件(数式)に変換できる. \\ \bm{この等式条件で文字を1つ消去}することで,\ 条件を等式に反映する. \\ Cを消去し,\ 三角関数の性質を使うと,\ 結局\ \sin2C=-\sin2(A+B)\ となる. \\[1zh] 2変数になったので,\ 和積の公式を用いてまとめていく. \\ \sin2A+\sin2Bに公式\ \bm{\sin A+\sin B=2\sin\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A-B}{2}}\ を適用する. \\ \bm{共通因数を作り出すために,\ \sin2(A+B)に2倍角の公式を適用する.} \\ 中括弧内に公式\ \bm{\cos A-\cos B=-2\sin\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2}}\ を適用する. \\ これを整理すると4\sin A\sin Bができる. \\[1zh] 右辺と見比べると,\ 後は\sin(A+B)\ を\sin Cに変換できればよい. \\ A+B+C=\pi\ を\ \bm{A+B=\pi-C}\ として代入し,\ 三角関数の性質を用いる. \\[1zh] 適当に変形するのではなく,\ 意図を持って各公式を適用することが重要である. \\ そのためには,\ 右辺の形と見比べながら変形していく必要がある. \\ 効率化し,\ 半分くらいの記述量で証明できるくらいまでに慣れておきたい. ほぼ(1)と同じだが,\ 決定的なポイントが次である. \\ \bm{\sin(A+B)=\sin2\cdot\bunsuu{A+B}{2}\ と考えて2倍角の公式を使う.} \\ つまり \sin(A+B)=\sin2\cdot\bunsuu{A+B}{2}=2\sin\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A+B}{2} \\ 共通因数を作り出すために,\ このように無理矢理変形するのは慣れが必要だろう. (2)と同様,\ 無理矢理2倍角の公式で共通因数を作り出すのがポイントである. \\