unified-angle

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2倍角・3倍角・半角の公式}}で,\ \textbf{\textcolor{red}{角の統一}}を行う. \\  すると,\ 基本的な方程式・不等式に帰着する. \\\\\\ \cos2\theta\,は,\ 次の3通りに変形できる. \\ \cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta \\ この中で,\ \bm{角と同時に関数も統一できる\sin のみの式を用いる}ことになる. 2倍角の公式を適用すると,\型の不等式に帰着する. \\ であれば,\ 直ちにとできるのは大丈夫だろう. \\ しかし,\ のように文字が異なる場合,\ 単純にはいかない. \\ この場合,\ \bm{同値変形の根本に立ち戻って解く}必要がある. \\ 後は,\ 単位円を描いて,\ これを満たす範囲を求める. \\ 4つの不等式を別々に解いてからまとめるのではなく,\ 最初から一気に考える. \\ つまり \bm{\begin{cases} y軸の右側 \\ y=\bunsuu12\ の上側 \end{cases}\hspace{-.5zw}または\ \begin{cases} y軸の左側 \\ y=\bunsuu12\ の下側 \end{cases}} \\ 結局,\ 図のような範囲になるわけである. に統一するのは無理がある. \\ \cos^2\bunsuu{\theta}{2}=\bunsuu{1+\cos\theta}{2}\ のように,\ 半角の公式には2乗がつくからである. \\[1zh] そこで,\ \bm{\theta\ を\ \bunsuu{\theta}{2}\ に統一}する. \\ つまり,\ \cos\theta=\bm{\cos2\cdot\bunsuu{\theta}{2}\ と考えて,\ 2倍角の公式を適用}する. \\[1zh] \cos\bunsuu{\theta}{2}\ の2次方程式となるから,\ 因数分解する. \\ 常に\ -1\leqq\cos\bunsuu{\theta}{2}\leqq1\ より,\ 常に\ \cos\bunsuu{\theta}{2}-\ である. \\ よって,\ \cos\bunsuu{\theta}{2}-2=0\ となる可能性はなく,\ 2\cos\bunsuu{\theta}{2}-1=0\ のみとなる. \\ \cos\bunsuu{\theta}{2}=2\ とした後に不適としてもよい. \\[1zh] 角が単純な\ \theta\ ではないから,\ \bm{角\ \bunsuu{\theta}{2}\ の範囲を確認し,\ その範囲内で求める.} 2倍角の公式で角を統一する.\ その後,\ 因数分解できることに気付きたい. \\ 2項ずつ組み合わせると,\ 共通因数が見えてくる. \\ 2\sin\theta(2\cos\theta+1)-(2\cos\theta+1)=0 \\ 一般に,\ \bm{AB+A+B+1=(A+1)(B+1)}\ のように因数分解できる. \\ この知識を持っておくことで,\ 因数分解できることに気付きやすくなる.