permutation

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基本形\ \textcolor{blue}{\sin\alpha=k,\ \cos\alpha=k,\ \tan\alpha=k}\ は,\ \textcolor{red}{定義に基づき図形的に解く.}}$} \\[.2zh]  $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{角が単純な\ \theta\ でない場合,\ まず角の範囲を確認し,\ その範囲内で求める.}}$ \\\\ 両辺を2で割り,\ \sin の係数を1にすると基本形となる. \\ 最も注意すべきは,\ \sin\theta=\bunsuu12\ \Longleftrightarrow\ \theta=\bunsuu{\pi}{6},\ \bunsuu56\pi\ と混同しないことである. \\ つまり,\ 安易に\とするのは\bm{誤り}である. \\ 実際,\ -\bunsuu{\pi}{2}は,\ 問題の条件\ を満たさない. \\[1zh] 本問は,\ \bm{\theta+\bunsuu23\pi\ の\sin が\,\bunsuu12\,となる角を求める問題}である.\ 主役は\ \theta+\bunsuu23\pi\ だ. \\ ところが,\ \theta\ の範囲のまま求めてしまったところに間違いの原因がある. \\ \bm{\theta+\bunsuu23\pi\ の範囲のもとで,\ \sin が\,\bunsuu12\,となる角を求める}必要がある. \\[1.5zh] \theta+\bunsuu23\pi\ の範囲を求める.\ このとき,\ 2\pi+\bunsuu23\pi\ は\ \bunsuu83\pi\ にしないのがコツである. \\ \bunsuu23\pi\ から1周した角であることが瞬時にわかるからである. \\[1zh] \bm{角の範囲を明確に図示し,\ この範囲で\sin が\,\bunsuu12\,となる角を考える.} \\ 範囲は\ \bunsuu23\pi\ から始まるから,\ \bunsuu{\pi}{6}\ は範囲外である. \\ 結局,\ \bunsuu23\pi\ から\ \bunsuu83\pi\ の範囲内にあって\sin が\ \bunsuu12\ となるのは\,\bunsuu56\pi,\ \bunsuu{13}{6}\pi\,である. \\ \bm{\theta+\bunsuu23\pi\ が\ \bunsuu56\pi,\ \bunsuu{13}{6}\pi}\ なので,\ これを\ \theta\ に直せば答えである. 2周した角である. \\ -\bunsuu{\pi}{3}\ から\ 4\pi-\bunsuu{\pi}{3}\ の範囲で,\ \cos が-\bunsuu{\ruizyoukon3}{2}\ 以上となる角の範囲を考える. \\ -\bunsuu{\pi}{3}\ から始まり,\ 1周目が-\bunsuu{\pi}{6}\ から\ \bunsuu{\pi}{6},\ 2周目が\bunsuu{11}{6}\pi\ から\ \bunsuu{13}{6}\pi\ である. \\ 本問も,\ 先に角の範囲を考慮しなければ,\ 0から\bunsuu{\pi}{6}\ などのような間違いを犯す. \\ \theta\ の範囲にするときは,\ まず各辺を+\bunsuu{\pi}{3}\ して,\ さらに各辺を2で割るとよい. -\bunsuu{\pi}{4}\ から\ 2\pi-\bunsuu{\pi}{4}\ の範囲で,\ \tan が\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon3}\ 以下になる範囲を考える. \\[1zh] そもそも,\ 根本的に\tan の三角方程式の解き方が怪しい人が少なくない. \\ 本来,\ 数\text{I}の三角比分野で習得済みのはずであるが,\ 再確認しておいてほしい. \\[1zh] \tan は,\ 図形的には\bm{直線x=1上のy座標}である. \\ よって,\ \bm{直線x=1\left(y\leqq\bunsuu{1}{\ruizyoukon3}\right)の部分に対応する角の範囲}を考えることになる. \\ \bm{直線x=1上の点および原点を通る直線と,\ 単位円との交点が対応する角}である. \\[1zh] 結局,\ 図の赤色の部分となるが,\ 範囲は\ -\bunsuu{\pi}{4}\ から2\pi-\bunsuu{\pi}{4}\ なので3分割される. \\ このとき,\ \bm{\bunsuu{\pi}{2}\ と\ \bunsuu32\pi\ の\tan の値は存在しない}ことに注意する. \\ さらに,\ \bunsuu74\pi\ が範囲には含まれていないことにも注意する.