composition-maxmin

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角が等しい1次の\sin と\cos の和}}は,\ \bm{\textcolor{red}{合成して変数を1ヶ所に集める.}}$ \\  $結局,\ \bm{\textcolor{magenta}{\sin の最大・最小問題に帰着}}する.$ \\\\\\ 合成後,\ \bm{内側(括弧内)から順番に範囲を確認していく.} \\ まず,\ 角\ \theta-\bunsuu{\pi}{4}\ の範囲を確認する. \\ 次に,\ この範囲の元で,\ \bm{\sin のとりうる値の範囲を図形的に考える.} \\ \sin は図形的にはy座標である. \\ 角が-\bunsuu{\pi}{4}\ から\bunsuu34\pi\ まで変化するとき,\ y座標は\ -\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\ から1まで変化する. \\ さらに,\ 各辺に\,\ruizyoukon2\,を掛けるとyの範囲が求まる. \\[1zh] 最大・最小をとるときの\ \theta\ は,\ 要求されない限り答える必要はない. \\ ここでは,\ 練習のため\ \theta\ も求めておく. \\ \sin\left(\theta-\bunsuu{\pi}{4}\right)=1\ のとき最大,\ \ \sin\left(\theta-\bunsuu{\pi}{4}\right)=-\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\ のとき最小をとる. \\ このときの\ \theta\ も,\ 単位円から図形的に読み取れる. 余角の公式}] \centerline{$\therefore \bm{\theta=\bunsuu{\pi}{2}\ のとき 最小値1}$} 本問は,\ 三角関数の合成において,\ \bm{角が有名角にならない場合}である. \\ この場合,\ \bm{角を\ \alpha\ とおいて,\ \cos\alpha,\ \sin\alpha}\ の値を併記する. \\[1zh] 角\ \alpha\ が変数であると誤解する人が少なくない. \\ \bm{\alpha\ は,\ \cos\alpha=\bunsuu{1}{\sqrt5},\ \ \sin\alpha=\bunsuu{2}{\sqrt5}\ を満たすような\,\underline{定数(定角)}}である. \\[1zh] よって,\ 単位円に\ \alpha\ をとるとき,\ ほぼ正確な位置にとることができる. \\ \alpha\ の実際の角は,\ \cos\alpha,\ \sin\alpha\ の値から予想する. \\ \bm{\alpha\ は第1象限の角}である. \\ 以上を踏まえた上で,\ \sin(\theta+\alpha)\ の最大値・最小値を求める. \\[1zh] まず,\ \bm{角\ \theta+\alpha\ の範囲}を求め,\ 単位円上に図示する. \\ このとき,\ \alpha\ を\ \bunsuu{\pi}{3}\ と\ \bunsuu{\pi}{2}\ の間にとらなければならない. \\[1zh] 次に,\ \sin(\theta+\alpha)\ が取りうる値の範囲を読み取る. \\ 最大値1は一目瞭然であり,\ 最大値を求めるだけならこれで完了である. \\ しかし,\ 最大値をとるときの\ \sin\theta,\ \cos\theta\ の値も要求されることがある. \\ 実は,\ \theta\ の値が求まらなくても,\ \bm{\sin\theta,\ \cos\theta\ の値は求まる.} \\ このとき,\ \bm{\cos\alpha,\ \sin\alpha\ の値や三角関数の各公式を用いる}ことになる. \\ 既知 \bm{余角の公式}を用いると,\ 結局\ \sin\theta=\cos\alpha\ となり,\ 値が求まる.\ \cos\theta\ も同様. \\[1zh] \theta=\bunsuu{\pi}{2}\ のとき最小をとることはすぐにわかるが,\ 今度は最小値がわからない. \\ ここでも,\ 公式で変形すると,\ \cos\alpha\ の値として求まる. \\ \theta=\bunsuu{\pi}{2}\ を元の式に代入し,\ としてもよい.