数Iでは sin18°とcos36°の値(正五角形を利用した図形的解法) を学習した。

cos36sin18

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30\Deg\ や45\Deg\ など以外にも, 三角比の値が割と綺麗な値になる角がある.$ \\  $例えば,\ 15\Deg\ や\ 22.5\Deg\ の三角比の値は,\ 加法定理などで容易に求まる.$ \\  $他18\Deg,\ 36\Deg などの三角比の値も綺麗になる}}が,\ \bm{\textcolor{magenta}{求め方は暗記}}を要する.$ \\  $代数的手法と幾何的手法の2つがあるが,\ ここでは\textbf{\textcolor{blue}{代数的な方法}}で求める.$ \\\\  $代数的には,\ 次のような発想で求めることができる.$ \\[.5zh]  $\bm{36\Deg を\ \theta\ として,\ \textcolor{red}{\cos\theta\ (=\cos36\Deg)の方程式}を作成して解く.}$ \\  \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{三角比の値を,\ \underline{三角比の方程式}を作成して求める}}のである. \\\\\\ \theta=36\Deg\ とするとき,\ \bm{5倍して180\Deg} となることに着目する. \\ \theta\ は変数ではなく,\ \bm{実際は36\Deg という定数}であることを意識しながら解く. \\[1zh] \cos36\Deg の方程式を作成するため,\ \bm{2\theta\ と3\theta\ に分割}する. \\ \bm{両辺の\sin} をとり,\ さらに右辺に\bm{補角の公式\ \sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta}\ を適用する. \\ \sin3\theta\ に3倍角の公式,\ \sin2\theta\ に2倍角の公式を適用して\bm{角を統一}する. \\ \theta=36\Deg であるから\sin\theta\neqq0\ であり,\ それゆえ\bm{両辺を\sin\theta\ で割る}ことができる. \\ さらに三角関数の相互関係を用いると,\ \bm{\cos\theta\ のみの方程式}となる. \\ これを解いて\ \cos\theta\ を求めれば,\ \cos36\Deg が求まったことになる. \\[1zh] 上に示した途中計算は,\ あくまでも1例である. \\ 両辺の\cos をとり,\ \cos3\theta=\cos(180\Deg-2\theta)\ として解くこともできる. \\ また,\ 2\theta=180\Deg-3\theta\ や,\ \theta=180\Deg-4\theta\ として解くこともできる. \\ どのような手順にせよ,\ \bm{\cos36\Deg\ の方程式を作成する}ということに変わりはない. \\[1zh] \cos36\Deg=\cos\bunsuu{\pi}{5}\ と,\ 角がラジアンの場合もある. \\ できれば,\ \bm{\cos36\Deg=\bunsuu{\ruizyoukon5+1}{4}}\ は暗記しておくとよい. 両辺のsinをとる{整理して因数分解}] \theta=18\Deg\ とするとき,\ \bm{5倍して90\Deg} となることに着目する. \\ \theta\ は変数ではなく,\ \bm{実際は18\Deg という定数}であることを意識しながら解く. \\[1zh] \sin18\Deg の方程式を作成するため,\ \bm{2\theta\ と3\theta\ に分割}する. \\ \bm{両辺の\sin} をとり,\ さらに右辺に\bm{余角の公式\ \sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta}\ を適用する. \\ \sin3\theta\ に3倍角の公式,\ \cos2\theta\ に2倍角の公式を適用して\bm{角を統一}する. \\ \cos2\theta\ は3通りの表現があるが,\ \bm{関数も統一}するため,\ \sin のみの表現を用いる. \\ \sin\theta\ の3次方程式となるので,\ 因数定理を用いて因数分解する. \\ さらに,\ \theta=18\Deg のとき\ \sin\theta\neqq1\ より,\ \sin\theta-1=0\ は排除される. \\ 結局\sin\theta\ の2次方程式となり,\ これを解けば\ \sin18\Deg が求まったことになる. \\[1zh] \sin18\Deg=\sin\bunsuu{\pi}{10}\ と,\ 角がラジアンの場合もある. \\ できれば,\ \bm{\sin18\Deg=\bunsuu{\ruizyoukon5-1}{4}}\ は暗記しておくとよい.