extremum

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極値に関する基本事項が次である. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{cyan}{x=aを境に}\ \textcolor{red}{f(x)が\dot{増}\dot{加}から\dot{減}\dot{少}}\ に変わるとき f(a)は\ \textcolor{red}{極\dot{大}値} \\ \textcolor{red}{f(x)が\dot{減}\dot{少}から\dot{増}\dot{加}}\ に変わるとき f(a)は\ \textcolor{red}{極\dot{小}値}  この条件を満たせば,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{尖っていたり,\ 微分不可能な点でも,\ 極値になる.}}$  $f(x)が微分可能とし,\ $極値の条件を,\ $f'(x)を用いて言い換える.\ $ \\[.5zh] x=aを境に}\ f'(x)の符号が\dot{正}から\dot{負}}\ に変わるとき f(a)は\ \textcolor{red}{極\dot{大}値} \\ f'(x)の符号が\dot{負}から\dot{正}}\ に変わるとき f(a)は\ \textcolor{red}{極\dot{小}値}  以上から,\ 次が成立する. \\[.5zh]  重要なのは,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{f'(a)=0}$でも,\ $\bm{x=a}$で極値をとる保証はない}}ことである. \\  $\bm{f'(a)=0でも極値をとらない代表例}$は,\ 次のような3次関数だろう. \\  $y’=3x^2\ より,\ x=0のとき,\ y’=0だが,\ x=0で極値はとらない.$  結局,\ $\bm{\textcolor{magenta}{f'(a)=0\ は極値をとるための必要条件}にすぎない.}$ \\  よって,\ この条件を使用した場合,\ \textbf{\textcolor{red}{十分性の確認}}をしなければならない. \\  \textbf{十分性の確認は,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{増減表を書いておく}}のが,\ 手っ取り早く確実である. \\\\\\  また,\ $「\bm{\textcolor{cyan}{f(x)がx=a\ のとき極値pをとる}}」から,\ 2つの条件式が作れる.$ \\[.5zh]  \textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{\textcolor[named]{ForestGreen}{増減表}より,\ 確かに\ $x=-1で極大値,\ x=1で極小値f(1)=2\ をとる.$}}} 「x=-1で極大値6」から,\ 2つの条件\ f(-1)=6,\ \ f'(-1)=0\ が導かれる. \\ 「x=1で極小値」から,\ f'(1)=0\ が導かれる. \\ 未知数3つに対し,\ 式3つとなるから,\ これを解けばa,\ b,\ cが特定できる. \\[1zh] 「極値をとる」\ \Longrightarrow\ 「f'(a)=0」\ を用いたので,\ 十分性の確認を要する. \\ 元のf(x)にa,\ b,\ cを代入し,\ 増減表を作成しておく. \\ 十分性の確認のために増減表を書いたことをアピールしておくとよい(\underline{下線部}).